y^{\prime}=(1-2 x) / y, \quad y(1)=-2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial \,y'=\frac{1-2x}{y}, com condição inicial \,y(1)=-2. O conteúdo é de equações separáveis: vamos isolar y e x, integrar, determinar a constante e impor a condição inicial.

Passo 2

Separe variáveis multiplicando ambos os lados por y\,dx:
y\,dy = (1 - 2x)\,dx.

Passo 3

Integre cada lado:
\int y\,dy = \int (1 - 2x)\,dx
resultando em
\frac{y^2}{2} = x - x^2 + C.

Passo 4

Multiplique por 2 e chame a constante de C_1:
y^2 = 2x - 2x^2 + C_1.
Usando x=1 e y(1)=-2, temos 4 = 2 - 2 + C_1, logo
C_1 = 4.

Passo 5

Substitua C_1 e resolva para y:
y^2 = -2x^2 + 2x + 4,
y(x) = \pm \sqrt{-2x^2 + 2x + 4}.
Como y(1)=-2 é negativo, escolhemos o sinal “ -”.

Resposta

y(x) = -\sqrt{-2x^2 + 2x + 4}.

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