Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
integral0^1 / 16 integralraiz[4]y^1 / 2 cos (16 pi x^5) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla:
integral0^1 / 16 integralraiz[4]y^1 / 2 cos (16 pi x^5) , dx , dy
O objetivo é inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como mudar a ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos $ y $ variando de 0 até $ \frac{1}{16} $ e, para cada $ y $, $ x $ varia de $ \sqrt[4]{y} $ até $ \frac{1}{2} $. Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde $ x $ está limitado inferiormente por $ \sqrt[4]{y} $ e superiormente por $ \frac{1}{2} $.

Passo 3

Para inverter a ordem, precisamos reescrever os limites de integração em termos de $ x $ primeiro e depois $ y $. Observando os limites originais:
  • $ x $ varia de $ \sqrt[4]{y} $ a $ \frac{1}{2} $
  • $ y $ varia de 0 a $ \frac{1}{16} $
Vamos encontrar os novos limites:
  • $ x $ agora vai de 0 até $ \frac{1}{2} $
  • Para cada $ x $, $ y $ vai de 0 até $ x^4 $ (porque $ y = x^4 $ é a inversa de $ x = \sqrt[4]{y} $)

Passo 4

Com os novos limites, a integral invertida fica assim:
integral0^1/2 integral0^x^4 cos (16 pi x^5) , dy , dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $. Como o integrando $ \cos \left(16 \pi x^{5}\right) $ não depende de $ y $, a integração é simples:
y
Então, nossa integral agora fica:
cos (16 pi x^5)

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja $ u = 16\pi x^{5} $. Então:
u = 16pi x^5
Substituindo na integral:
dudx = 80pi x^4 Rightarrow dx = du80pi x^4
A integral de $ \cos(u) $ é $ \sin(u) $, então:
integral cos(u) cdot x^4 cdot du80pi x^4 = 180pi integral cos(u) , du
Simplificando:
cos(u)

Resposta

A integral vale $ \frac{1}{80,\pi} $.

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