Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral dupla:
O objetivo é inverter a ordem de integração para facilitar o cálculo. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre como mudar a ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos $ y $ variando de 0 até $ \frac{1}{16} $ e, para cada $ y $, $ x $ varia de $ \sqrt[4]{y} $ até $ \frac{1}{2} $. Isso significa que estamos integrando sobre uma região onde $ x $ está limitado inferiormente por $ \sqrt[4]{y} $ e superiormente por $ \frac{1}{2} $.
Passo 3
Para inverter a ordem, precisamos reescrever os limites de integração em termos de $ x $ primeiro e depois $ y $. Observando os limites originais:
- $ x $ varia de $ \sqrt[4]{y} $ a $ \frac{1}{2} $
- $ y $ varia de 0 a $ \frac{1}{16} $
Vamos encontrar os novos limites:
- $ x $ agora vai de 0 até $ \frac{1}{2} $
- Para cada $ x $, $ y $ vai de 0 até $ x^4 $ (porque $ y = x^4 $ é a inversa de $ x = \sqrt[4]{y} $)
Passo 4
Com os novos limites, a integral invertida fica assim:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $. Como o integrando $ \cos \left(16 \pi x^{5}\right) $ não depende de $ y $, a integração é simples:
Então, nossa integral agora fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição. Seja $ u = 16\pi x^{5} $. Então:
Substituindo na integral:
A integral de $ \cos(u) $ é $ \sin(u) $, então:
Simplificando:
Resposta
A integral vale $ \frac{1}{80,\pi} $.