Dado z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i, calcule z^{8}.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\,i
e pede para calcular z^{8}. O conteúdo abordado é forma trigonométrica/exponencial de números complexos e o uso do Teorema de De Moivre.

Passo 2

Vamos escrever z na forma trigonométrica. Primeiro, o módulo de z é
r = |z| = \sqrt{\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2}} = \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1.
O argumento \theta satisfaz
\cos\theta = \tfrac12, \quad \sin\theta = \tfrac{\sqrt{3}}{2},
logo \theta = \tfrac{\pi}{3}. Assim
z = \cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) + i\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{3}\Bigr) = e^{\,i\pi/3}.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, para todo inteiro n vale
z^{n} = \bigl(e^{\,i\theta}\bigr)^{n} = e^{\,i n\theta}.
Aqui n=8 e \theta=\tfrac{\pi}{3}, então
z^{8} = e^{\,i\cdot8\cdot(\pi/3)} = e^{\,i(8\pi/3)}.

Passo 4

Agora simplificamos o ângulo 8\pi/3. Note que
8\pi/3 = 2\pi + \tfrac{2\pi}{3},
e como e^{\,i2\pi}=1 temos
e^{\,i(8\pi/3)} = e^{\,i2\pi}\,e^{\,i(2\pi/3)} = e^{\,i(2\pi/3)}.
Em forma trigonométrica,
\cos\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) = -\tfrac12, \quad \sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{3}\Bigr) = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
e^{\,i(2\pi/3)} = -\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Resposta

z^{8} = -\tfrac12 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\,i.

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