Dado z=1-i, calcule z^{16}.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,z = 1 - i e pede para calcular \,z^{16}. O conteúdo envolve representação polar de complexos e aplicação do Teorema de De Moivre, que diz que se
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
então
z^n = r^n\bigl(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\bigr).

Passo 2

Calculamos primeiro o módulo \,r = |z| e o argumento \,\theta = \arg(z).
r = |z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}.
\theta = \arg(z) = \arctan\!\bigl(\tfrac{-1}{1}\bigr) = -\tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Escrevemos \,z em forma polar e aplicamos De Moivre para n=16:
z = \sqrt{2}\,\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{4}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{4})\bigr),
z^{16} = \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{16}\!\bigl(\cos(-16\cdot\tfrac{\pi}{4}) + i\sin(-16\cdot\tfrac{\pi}{4})\bigr) =2^{8}\bigl(\cos(-4\pi) + i\sin(-4\pi)\bigr).

Passo 4

Como \cos(-4\pi)=1 e \sin(-4\pi)=0, concluímos que
z^{16} = 2^{8}\cdot1 = 256.

Resposta

256

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