Resolva a equação 2 z+\bar{z}=15-2 i.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2z + \overline{z} = 15 - 2i.
O conteúdo aqui é manipulação de números complexos, e vamos precisar usar a representação z = x + i y e separar parte real e parte imaginária.

Passo 2

Seja z = x + i y. Então
\overline{z} = x - i y
e
2z + \overline{z} = 2(x + i y) + (x - i y) = (2x + x) + i(2y - y) = 3x + i\,y.
Logo a equação vira
3x + i\,y = 15 - 2i.

Passo 3

Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias coincidirem. Portanto, igualando partes real e imaginária, obtemos o sistema
\begin{cases} 3x = 15,\\\ y = -2. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema temos
x = \frac{15}{3} = 5, \quad y = -2.
Logo
z = x + i y = 5 - 2i.

Resposta

z = 5 - 2i.

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