Determine as raízes cúbicas de z=2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação
w^3 = 2
no plano complexo. O conteúdo envolvido é a representação polar de números complexos e o Teorema de De Moivre: se w = r e^{i\theta}, então
w^n = r^n e^{i n\theta}.

Passo 2

Escrevemos o número 2 em forma polar, lembrando que o argumento pode ter infinitos valores equivalentes:
2 = 2 e^{i(0 + 2\pi k)},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Suponha uma raiz genérica
w = r e^{i\theta}.
Então
w^3 = r^3 e^{i3\theta} = 2 e^{i(0 + 2\pi k)}.
Comparando módulos e argumentos, obtemos
r^3 = 2\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{2},
3\theta = 0 + 2\pi k\quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{2\pi k}{3},\quad k=0,1,2.

Passo 4

Logo as três raízes cúbicas de 2 são, para k=0,1,2,
w_k = \sqrt[3]{2}\;e^{i\frac{2\pi k}{3}}.
Escrevendo em forma a+ib:
para k=0:
w_0 = \sqrt[3]{2};
para k=1:
w_1 = \sqrt[3]{2}\Bigl(-\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr);
para k=2:
w_2 = \sqrt[3]{2}\Bigl(-\tfrac12 - i\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Resposta

w_0 = \sqrt[3]{2},\quad w_1 = \sqrt[3]{2}\Bigl(-\tfrac12 + i\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad w_2 = \sqrt[3]{2}\Bigl(-\tfrac12 - i\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

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