Dado z=2 e^{i 30^{\circ}}, determine z^{8}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: z = 2 e^{i 30^\circ}.
  • Pedido: calcular z^{8}.
    Informações extraídas do enunciado: o número complexo está na forma polar/exponencial, com módulo r=2 e argumento \theta=30^\circ. A tarefa é elevar esse número à oitava potência.

Passo 2

Lembrando a ferramenta principal: Fórmula de De Moivre / propriedade das potências em forma exponencial.
Para um número complexo em forma polar/exponencial \,r e^{i\theta}\, e inteiro n, vale a regra
\left(r e^{i\theta}\right)^{n} = r^{n} e^{i n \theta}.
Aqui r é o módulo (distância ao origem), \theta é o argumento (ângulo), e n é o expoente inteiro. Essa fórmula vem de combinar as propriedades de potência com a identidade de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso com r=2, \theta=30^\circ e n=8:
z^{8} = \left(2 e^{i 30^\circ}\right)^{8} = 2^{8} e^{i(8\cdot 30^\circ)}.

Passo 4

Calcular o módulo elevado: 2^{8}.
Fazendo as potências passo a passo:
2^{2}=4,\quad 2^{4}=(2^{2})^{2}=4^{2}=16,\quad 2^{8}=(2^{4})^{2}=16^{2}=256.
Logo 2^{8}=256.

Passo 5

Calcular o argumento multiplicado: 8\cdot 30^\circ.
8\cdot 30^\circ = 240^\circ.
Como ângulo está dentro de 0^\circ a 360^\circ, não precisamos reduzir mais (mas lembrar que ângulos são equivalentes módulo 360^\circ).

Passo 6

Portanto, na forma exponencial/polar:
z^{8} = 256 e^{i 240^\circ}.
Isso já é uma resposta válida (forma polar). Para obter a forma cartesiana (retangular), usamos e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Passo 7

Calcular \cos 240^\circ e \sin 240^\circ. Usando identidades de ângulos suplementares/adição:
240^\circ = 180^\circ + 60^\circ,
logo
\cos 240^\circ = \cos(180^\circ+60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\tfrac{1}{2},
\sin 240^\circ = \sin(180^\circ+60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 8

Multiplicando pelo módulo 256 para obter a forma cartesiana:
z^{8} = 256\big(\cos 240^\circ + i\sin 240^\circ\big) = 256\left(-\tfrac{1}{2} + i\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right).
Agora simplificando cada termo:
256\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -128, \qquad 256\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -128\sqrt{3}.
Portanto
z^{8} = -128 - 128 i \sqrt{3}.

Resposta

256 e^{i 240^\circ}
-128 - 128 i \sqrt{3}

Exercícios relacionados