Dado
, determine
.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dado:
. - Pedido: calcular
.
Informações extraídas do enunciado: o número complexo está na forma polar/exponencial, com móduloe argumento . A tarefa é elevar esse número à oitava potência.
Passo 2
Lembrando a ferramenta principal: Fórmula de De Moivre / propriedade das potências em forma exponencial.
Para um número complexo em forma polar/exponencial e inteiro
, vale a regra
Para um número complexo em forma polar/exponencial
Aqui
é o módulo (distância ao origem),
é o argumento (ângulo), e
é o expoente inteiro. Essa fórmula vem de combinar as propriedades de potência com a identidade de Euler
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
,
e
:
Passo 4
Calcular o módulo elevado:
.
Fazendo as potências passo a passo:
Fazendo as potências passo a passo:
Logo
.
Passo 5
Calcular o argumento multiplicado:
.
Como ângulo está dentro de
a
, não precisamos reduzir mais (mas lembrar que ângulos são equivalentes módulo
).
Passo 6
Portanto, na forma exponencial/polar:
Isso já é uma resposta válida (forma polar). Para obter a forma cartesiana (retangular), usamos
.
Passo 7
Calcular
e
. Usando identidades de ângulos suplementares/adição:
logo
Passo 8
Multiplicando pelo módulo
para obter a forma cartesiana:
Agora simplificando cada termo:
Portanto