Determine o módulo e o conjugado do número complexo z=\frac{1}{1-i}+\frac{2+3 i}{1+i}.

Passo 1

O enunciado pede o módulo e o conjugado do número complexo
z = \frac{1}{1 - i} \;+\;\frac{2 + 3\,i}{1 + i}.
O conteúdo envolve operações básicas com números complexos: racionalizar denominadores, somar complexos e aplicar as definições de módulo e conjugado.

Passo 2

Racionalizamos o primeiro termo \frac{1}{1 - i} multiplicando numerador e denominador por 1 + i:
\frac{1}{1 - i} = \frac{1\cdot(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + i}{1 + 1} = \frac{1 + i}{2} = \frac12 + \frac12\,i.

Passo 3

Racionalizamos o segundo termo \frac{2 + 3\,i}{1 + i} multiplicando numerador e denominador por 1 - i:
\frac{2 + 3\,i}{1 + i} = \frac{(2 + 3\,i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{2 - 2\,i + 3\,i - 3\,i^2}{2} = \frac{2 + i + 3}{2} = \frac{5 + i}{2} = \frac52 + \frac12\,i.

Passo 4

Somando os dois resultados, obtemos
z = \Bigl(\tfrac12 + \tfrac12\,i\Bigr) + \Bigl(\tfrac52 + \tfrac12\,i\Bigr) = 3 + i.

Passo 5

Agora aplicamos as definições para z = 3 + i:
  • O módulo é
|z| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}.
  • O conjugado é
\overline{z} = 3 - i.

Resposta

|z| = \sqrt{10} \overline{z} = 3 - i

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