Dado E(z, t)=10^3 sen(6 cdot 10^8 t-beta z) ay no espaço livre, esboce a onda em t=0 e t=t1, quando a onda já percorreu lambda / 4 ao longo do eixo z. Ache também beta, lambda e t1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda eletromagnética no espaço livre descrita por E(z, t) = 10^3 sin(6 cdot 10^8 t - beta z) ay. O nosso objetivo aqui é esboçar essa onda nos instantes t=0 e t=t1, onde t1 é o tempo que a onda leva para percorrer lambda/4 ao longo do eixo z. Além disso, precisamos encontrar os valores de beta, lambda (comprimento de onda) e t1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas, como a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade da luz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de beta. Sabemos que a equação da onda geral é da forma sin(omega t - beta z), onde omega é a frequência angular e beta é o número de onda. A velocidade da onda ( v) está relacionada por v = omegabeta. No espaço livre, a velocidade da onda eletromagnética é a velocidade da luz, c = 3 times 10^8 m/s. Aqui, omega = 6 times 10^8 rad/s. Então:
beta = omegac = 6 times 10^8 rad/s3 times 10^8 m/s = 2 rad/m

Passo 3

Agora, vamos determinar o comprimento de onda lambda. Sabemos que beta = 2pilambda. Com beta = 2 rad/m:
lambda = 2pibeta = 2pi2 = pi m approx 3,14 m

Passo 4

Vamos calcular o tempo t1 que a onda leva para percorrer lambda/4. A relação entre distância, velocidade e tempo é d = v cdot t. Aqui, d = lambda/4 e v = c:
t1 = dv = lambda/4c = pi/43 times 10^8 m/s = 0,785 m3 times 10^8 m/s approx 2,62 times 10^-9 s

Passo 5

Por fim, vamos esboçar a onda nos momentos t=0 e t=t1.
  • Em t=0: A equação fica E(z, 0) = 10^3 sin(-beta z) ay. Isso representa uma onda senoidal com amplitude 10^3 unidades ao longo do eixo y, variando senoidalmente no eixo z.
  • Em t=t1: Substituindo, temos E(z, t1) = 10^3 sin(6 times 10^8 times 2,62 times 10^-9 - beta z) ay. Calculando o argumento do seno:
6 times 10^8 times 2,62 times 10^-9 approx 1,572 rad
Então,
E(z, t1) = 10^3 sin(1,572 - 2 z) ay
Isso significa que a onda se deslocou lambda/4 para frente no eixo z.

Resposta

beta = 2 rad/m, lambda approx 3,14 m e t1 approx 2,62 times 10^-9 s. Além disso, os esboços das ondas em t=0 e t=t1 mostram a onda original e sua posição deslocada lambda/4 no eixo z, respectivamente.

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