O telescópio espacial Hubble orbita a Terra estando a 598 km da superfície da Terra. Supondo a órbita perfeitamente circular, (a) determine a velocidade orbital, considerando o raio da Terra
, a massa da Terra
e a constante gravitacional universal
. (b) Estime o tempo que o telescópio leva para percorrer uma órbita completa, em minutos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular a velocidade orbital e o tempo que o telescópio Hubble leva para dar uma volta completa na Terra. Para isso, vamos usar conceitos de gravitacional e movimento circular. Precisaremos das fórmulas da força gravitacional e da velocidade orbital para achar as respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade orbital. Ela é a velocidade que um objeto precisa ter para continuar orbitando sem cair de volta na Terra. Para achar essa velocidade, usamos a fórmula da velocidade orbital para uma órbita circular:
Onde:
-
é a velocidade orbital; -
é a constante gravitacional ( ); -
é a massa da Terra ( ); -
é a distância do centro da Terra até o telescópio.
Passo 3
Precisamos calcular
, que é a distância do centro da Terra até o telescópio. Sabemos que o telescópio está a 598 km da superfície da Terra e o raio da Terra é
. Então:
Passo 4
Agora que temos
, vamos substituir todos os valores na fórmula da velocidade orbital:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o tempo que o telescópio leva para completar uma órbita. Esse tempo é chamado de período orbital (
) e pode ser calculado usando a fórmula:
Já temos
e
, então:
Resposta
(a) A velocidade orbital do telescópio Hubble é aproximadamente 7552 m/s.
(b) O tempo para completar uma órbita completa é cerca de 5803 segundos, o que equivale a aproximadamente 96,7 minutos.