O telescópio espacial Hubble orbita a Terra estando a 598 km da superfície da Terra. Supondo a órbita perfeitamente circular, (a) determine a velocidade orbital, considerando o raio da Terra RT=6,38 times 10^6 m, a massa da Terra MT=5,97 times 10^24 kg e a constante gravitacional universal G=6,67 times 10^-11 N cdot m^2 / kg^2. (b) Estime o tempo que o telescópio leva para percorrer uma órbita completa, em minutos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular a velocidade orbital e o tempo que o telescópio Hubble leva para dar uma volta completa na Terra. Para isso, vamos usar conceitos de gravitacional e movimento circular. Precisaremos das fórmulas da força gravitacional e da velocidade orbital para achar as respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade orbital. Ela é a velocidade que um objeto precisa ter para continuar orbitando sem cair de volta na Terra. Para achar essa velocidade, usamos a fórmula da velocidade orbital para uma órbita circular:
v = raizG cdot Mr
Onde:
  • é a velocidade orbital;
  • é a constante gravitacional ( );
  • é a massa da Terra ( );
  • é a distância do centro da Terra até o telescópio.

Passo 3

Precisamos calcular r = RT + a, que é a distância do centro da Terra até o telescópio. Sabemos que o telescópio está a 598 km da superfície da Terra e o raio da Terra é . Então:

Passo 4

Agora que temos v = raiz6,67 times 10^-11 cdot 5,97 times 10^246,98 times 10^6 , vamos substituir todos os valores na fórmula da velocidade orbital:
Numerador = 6,67 times 10^-11 cdot 5,97 times 10^24 = 3,98 times 10^14
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Denominador = 6,98 times 10^6
v = raiz3,98 times 10^146,98 times 10^6 = raiz5,71 times 10^7 approx 7552 , m/s
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o tempo que o telescópio leva para completar uma órbita. Esse tempo é chamado de período orbital ( T = 2pi rv ) e pode ser calculado usando a fórmula:
T = 2pi times 6,98 times 10^67552 approx 4,38 times 10^77552 approx 5803 , s
Já temos e , então:

Resposta

(a) A velocidade orbital do telescópio Hubble é aproximadamente 7552 m/s.
(b) O tempo para completar uma órbita completa é cerca de 5803 segundos, o que equivale a aproximadamente 96,7 minutos.

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