Um gerador de sinais produz uma onda plana uniforme no vácuo com um comprimento de onda igual a 12 cm . Quando a onda se propaga através de um material não dissipativo (isto é, sem perdas), de características desconhecidas, o comprimento de onda diminui para 8 cm . Neste material, as amplitudes de E e H são, respectivamente, iguais a 50 V / m e 0,1 A / m. Ache a frequência do gerador, bem como mu e varepsilon para o material.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma onda plana que inicialmente tem comprimento de onda de 12 cm no vácuo. Quando essa onda entra em um material desconhecido, o comprimento de onda diminui para 8 cm. No material, as amplitudes de $ \vec{E} $ e $ \vec{H} $ são dadas. Precisamos encontrar a frequência do gerador, além da permeabilidade $ \mu $ e a permissividade $ \varepsilon $ do material. Para isso, vamos usar conceitos de ondas eletromagnéticas e propriedades dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a frequência da onda. Sabemos que a frequência $ f $ de uma onda não muda quando ela passa de um meio para outro. Podemos usar a relação entre velocidade $ v $, frequência $ f $ e comprimento de onda $ \lambda $:
f
No vácuo, a velocidade da luz é $ c = 3 \times 10^8 , m/s $. O comprimento de onda no vácuo é 12 cm, que é 0,12 m. Então, podemos calcular a frequência:
v á

Passo 3

Agora que temos a frequência, vamos encontrar a velocidade da onda no material. Sabemos que o comprimento de onda no material é 8 cm, ou 0,08 m. Usando a mesma relação $ v = f \lambda $:
v = f lambda

Passo 4

A velocidade da onda em um material está relacionada à permissividade $ \varepsilon $ e à permeabilidade $ \mu $ do material pela fórmula:
varepsilon
Rearranjando para encontrar $ \mu \varepsilon $:
mu
Substituindo a velocidade que encontramos:
v = 1raizmu varepsilon

Passo 5

Agora, vamos usar as amplitudes de $ \vec{E} $ e $ \vec{H} $ para encontrar a impedância do material. A impedância $ Z $ é dada por:
E
Sabemos que a impedância em um meio é dada por:
H
Usando o valor que encontramos para $ \mu \varepsilon $:
Z
Substituindo $ \mu \varepsilon $:
Z = EH = 500,1 = 500 , Omega
Simplificando:
Z = raizmuvarepsilon
mu varepsilon
Z^2 = muvarepsilon Rightarrow mu = Z^2 varepsilon

Passo 6

Com $ \varepsilon $ encontrado, podemos achar $ \mu $ usando $ \mu = Z^2 \varepsilon $:
varepsilon

Resposta

A frequência do gerador é $ 2,5 \times 10^{9} , Hz $, a permeabilidade do material é $ 2,5 \times 10^{-6} , H/m $ e a permissividade é $ 1 \times 10^{-11} , F/m $.

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