dado z(x, y)=2 x^3+3 y^2-1, x(t, s)=s t^2, y(t, s)=t s^3, calcule zt e zs

Passo 1

Legal, o enunciado dá a função z(x,y)=2x^3+3y^2-1 e as variáveis
x(t,s)=s,t^2, y(t,s)=t,s^3. A meta é achar partial z/partial t e partial z/partial s. Como é uma função composta, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y:
zx = partialpartial x(2x^3+3y^2-1) = 6x^2,
zy = partialpartial y(2x^3+3y^2-1) = 6y

Passo 3

Agora, derivadas parciais de x(t,s) e y(t,s):
xt = partialpartial t(s,t^2) = 2s,t, xs = partialpartial s(s,t^2) = t^2,
yt = partialpartial t(t,s^3) = s^3, ys = partialpartial s(t,s^3) = 3t,s^2

Passo 4

Para zt, aplicamos a regra da cadeia:
zt = zx,xt + zy,yt = 6x^2cdot(2s,t) + 6ycdot(s^3)
Substituindo x=s,t^2 e y=t,s^3 e simplificando, vem
zt = 12,s^3,t^5 + 6,t,s^6

Passo 5

Para zs, aplicamos a regra da cadeia:
zs = zx,xs + zy,ys = 6x^2cdot t^2 + 6ycdot(3t,s^2)
Substituindo e simplificando dá
zs = 6,s^2,t^6 + 18,t^2,s^5

Resposta

zt = 12,s^3,t^5 + 6,t,s^6, zs = 6,s^2,t^6 + 18,t^2,s^5

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