(PUC-RJ-79) O número de elementos do conjunto
é
e o número de elementos do conjunto
é
. O número de elementos de
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta sobre o número de elementos no produto cartesiano de dois conjuntos,
e
. A gente sabe que o conjunto
tem
elementos e o conjunto
tem
elementos. Nosso objetivo é descobrir quantos elementos tem em
, que é o conjunto de todos os pares ordenados
onde
está em
e
está em
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o produto cartesiano e usar as propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto cartesiano. Se você tem dois conjuntos,
e
, o produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares possíveis
, onde
vem de
e
vem de
. Por exemplo, se
e
, então
.
Passo 3
Agora, para descobrir quantos elementos tem
, a gente multiplica o número de elementos de
pelo número de elementos de
. Isso porque para cada elemento em
, você combina com todos os elementos de
.
Matematicamente, isso é:
Onde
representa o número de elementos de
e
o de
.
Passo 4
Sabemos que
e
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos usar uma propriedade das potências que diz que quando você multiplica potências de mesma base, você soma os expoentes:
Resposta
c)