Um trem A parte de uma estação em um certo instante e viaja com direção ao norte com velocidade constante de 30 \mathrm{Km} / \mathrm{h}. Outro trem B sai da mesma estação com direção ao leste 3 horas depois com velocidade constante de 40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Calcular a taxa de variação com a qual os trens se afastam 2 horas depois do que o segundo trem deixa a estação.
Escolha uma opção:
◯ a. Aproximadamente 37 \mathrm{Km} / \mathrm{h}.
◯ b. Aproximadamente 45 \mathrm{Km} / \mathrm{h}.
◯ c. Aproximadamente 42 \mathrm{Km} / \mathrm{h}.
◯ d. Aproximadamente 48 \mathrm{Km} / \mathrm{h}.
◯ e. Aproximadamente 40 \mathrm{Km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado pede a taxa com que a distância entre os dois trens aumenta no instante que ocorre 2 horas depois de o segundo trem (B) sair. Informações dadas:
  • Trem A parte da estação em um certo instante (vamos chamar esse instante de referência) e viaja para o norte com velocidade constante \,30\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Trem B parte da mesma estação 3 horas depois e viaja para o leste com velocidade constante \,40\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • Queremos a taxa de variação da distância entre os trens no tempo t=2 horas contado a partir da saída do trem B (ou seja, 2 horas depois que B saiu).

Passo 2

Definir variáveis que dependem do tempo t, sendo t medido a partir da saída do trem B:
  • x(t) = distância do trem B (eixo leste) até a estação em \mathrm{km}.
  • y(t) = distância do trem A (eixo norte) até a estação em \mathrm{km}.
  • s(t) = distância entre os dois trens em \mathrm{km}.
Velocidades (derivadas):
  • \dfrac{dx}{dt} é a velocidade do trem B em relação ao tempo t. Como B anda para o leste a 40\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}, tem-se \dfrac{dx}{dt}=40.
  • \dfrac{dy}{dt} é a velocidade do trem A em relação ao tempo t. A já vinha desde 3 horas antes, mas sua velocidade é constante \,30\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}, então \dfrac{dy}{dt}=30.
Posições no instante pedido ( t=2 horas após saída de B):
  • O trem B percorreu x(2)=40\cdot 2 = 80\\ \mathrm{km}.
  • O trem A já vinha há 3+2=5 horas, então y(2)=30\cdot 5 = 150\\ \mathrm{km}.

Passo 3

Relação geométrica entre as distâncias: como os trens seguem direções perpendiculares (norte e leste), a distância entre eles satisfaz o Teorema de Pitágoras:
s^2 = x^2 + y^2.
Esta fórmula liga a hipotenusa s aos catetos x e y.

Passo 4

Diferenciar implicitamente a relação s^2 = x^2 + y^2 em relação ao tempo t. Ao derivar usamos a regra da cadeia (para s^2 obtemos 2s\cdot ds/dt) e a derivada usual de x^2 e y^2:
2s\frac{ds}{dt} = 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt}.
Simplificando os fatores 2:
s\frac{ds}{dt} = x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}.

Passo 5

Isolar \dfrac{ds}{dt}:
\frac{ds}{dt} = \frac{x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt}}{s}.
Aqui:
  • x, y são as distâncias no instante considerado,
  • \dfrac{dx}{dt}, \dfrac{dy}{dt} são as velocidades conhecidas,
  • s é a distância entre os trens nesse instante.
Unidades: numerador tem unidades \mathrm{km}\cdot(\mathrm{km}/\mathrm{h}) = \mathrm{km}^2/\mathrm{h} e dividindo por s (em \mathrm{km}) resulta em \mathrm{km}/\mathrm{h}, que é a unidade correta para \dfrac{ds}{dt}.

Passo 6

Substituir os valores em t=2:
  • x = 80\\ \mathrm{km}.
  • y = 150\\ \mathrm{km}.
  • \dfrac{dx}{dt}=40\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
  • \dfrac{dy}{dt}=30\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
    Calcular s:
s = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{80^2 + 150^2} = \sqrt{6400 + 22500} = \sqrt{28900} = 170\\ \mathrm{km}.
Calcular o numerador:
x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} = 80\cdot 40 + 150\cdot 30 = 3200 + 4500 = 7700.
Agora:
\frac{ds}{dt} = \frac{7700}{170} = \frac{770}{17} = 45{,}2941176\ldots\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Passo 7

Interpretação prática: a taxa com que a distância entre os trens aumenta duas horas após B sair é aproximadamente 45{,}29\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. Entre as opções fornecidas, a mais próxima é a letra (b) aproximadamente 45\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Resposta

(b) Aproximadamente 45\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.

Exercícios relacionados