Um trem A parte de uma estação em um certo instante e viaja com direção ao norte com velocidade constante de
. Outro trem B sai da mesma estação com direção ao leste 3 horas depois com velocidade constante de
. Calcular a taxa de variação com a qual os trens se afastam 2 horas depois do que o segundo trem deixa a estação.
Escolha uma opção:
◯ a. Aproximadamente
.
◯ b. Aproximadamente
.
◯ c. Aproximadamente
.
◯ d. Aproximadamente
.
◯ e. Aproximadamente
.
◯ a. Aproximadamente
◯ b. Aproximadamente
◯ c. Aproximadamente
◯ d. Aproximadamente
◯ e. Aproximadamente
Passo 1
O enunciado pede a taxa com que a distância entre os dois trens aumenta no instante que ocorre
horas depois de o segundo trem (B) sair. Informações dadas:
- Trem A parte da estação em um certo instante (vamos chamar esse instante de referência) e viaja para o norte com velocidade constante
. - Trem B parte da mesma estação
horas depois e viaja para o leste com velocidade constante . - Queremos a taxa de variação da distância entre os trens no tempo
horas contado a partir da saída do trem B (ou seja, horas depois que B saiu).
Passo 2
Definir variáveis que dependem do tempo
, sendo
medido a partir da saída do trem B:
-
= distância do trem B (eixo leste) até a estação em . -
= distância do trem A (eixo norte) até a estação em . -
= distância entre os dois trens em .
Velocidades (derivadas):
-
é a velocidade do trem B em relação ao tempo . Como B anda para o leste a , tem-se . -
é a velocidade do trem A em relação ao tempo . A já vinha desde horas antes, mas sua velocidade é constante , então .
Posições no instante pedido (
horas após saída de B):
- O trem B percorreu
- O trem A já vinha há
horas, então
Passo 3
Relação geométrica entre as distâncias: como os trens seguem direções perpendiculares (norte e leste), a distância entre eles satisfaz o Teorema de Pitágoras:
Esta fórmula liga a hipotenusa
aos catetos
e
.
Passo 4
Diferenciar implicitamente a relação
em relação ao tempo
. Ao derivar usamos a regra da cadeia (para
obtemos
) e a derivada usual de
e
:
Simplificando os fatores
:
Passo 5
Isolar
:
Aqui:
-
, são as distâncias no instante considerado, -
, são as velocidades conhecidas, -
é a distância entre os trens nesse instante.
Unidades: numerador tem unidades
e dividindo por
(em
) resulta em
, que é a unidade correta para
.
Passo 6
Substituir os valores em
:
-
. -
. -
. -
.
Calcular:
Calcular o numerador:
Agora:
Passo 7
Interpretação prática: a taxa com que a distância entre os trens aumenta duas horas após B sair é aproximadamente
. Entre as opções fornecidas, a mais próxima é a letra (b) aproximadamente
.
Resposta
(b) Aproximadamente
.