Dados f(x)=x^4+x^3+7 x^2-2 x-2 e g(x)=x^2+5 x+2 in Z11[x], determine q(x) e r(x) in Z11[x] tais que f(x)=g(x) q(x)+r(x) com r(x)=0 ou gr(r(x)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois polinômios, f(x) = g(x) cdot q(x) + r(x) e , que estão no conjunto (ou seja, os coeficientes são considerados módulo 11). Precisamos encontrar dois polinômios, e , também em , tal que:
onde é zero ou tem grau menor que 2. Para resolver isso, vamos usar o método da divisão polinomial, adaptado para os coeficientes em .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os coeficientes negativos nos polinômios, convertendo-os para equivalentes positivos em módulo 11. Isso facilita a nossa conta:
  • Para f(x) = x^4 + x^3 + 7x^2 + 9x + 9 :
    • g(x) = x^2 + 5x + 2 já está ok.
    • (pois ).
    • Outro .
Então, fica:
Para , todos os coeficientes já estão positivos:

Passo 3

Agora, vamos realizar a divisão de por para encontrar e .
  1. Dividendo inicial:
  2. Divisor:
  3. Objetivo: Encontrar de forma que o grau do dividendo reduza a cada passo, até que o grau do resto seja menor que 2.

Passo 4

Vamos começar a divisão passo a passo:
  1. Primeiro termo:
    • Dividimos o termo de maior grau de x^2 cdot (x^2 + 5x + 2) = x^4 + 5x^3 + 2x^2 pelo de (x^4 + x^3 + 7x^2 + 9x + 9) - (x^4 + 5x^3 + 2x^2) = (6x^3 + 5x^2 + 9x + 9) : 6x cdot (x^2 + 5x + 2) = 6x^3 + 30x^2 + 12x .
    • Então, 6x^3 + 8x^2 + 1x começa com (6x^3 + 5x^2 + 9x + 9) - (6x^3 + 8x^2 + 1x) = (8x^2 + 8x + 9) .
  2. Multiplicação e subtração:
    • Multiplicamos 8 cdot (x^2 + 5x + 2) = 8x^2 + 40x + 16 atual, 8x^2 + 7x + 5 , por (8x^2 + 8x + 9) - (8x^2 + 7x + 5) = (1x + 4) :
    • Subtraímos esse resultado de :
      (Lembrando que em , e assim por diante.)
  3. Segundo termo:
    • Pegamos o novo dividendo: .
    • Dividimos .
    • Adicionamos a : agora .
  4. Multiplicação e subtração:
    • Multiplicamos por :
      Simplificando os coeficientes módulo 11:
      Então:
    • Subtraímos desse resultado do novo dividendo:
  5. Terceiro termo:
    • Agora, dividimos .
    • Adicionamos a : agora .
  6. Multiplicação e subtração final:
    • Multiplicamos por :
      Simplificando:
      Fica:
    • Subtraímos desse resultado do último dividendo:
      Ou seja, .

Passo 5

Concluímos que:
q(x) = x^2 + 6x + 8
r(x) = 1x + 4
Como o grau de é 1, que é menor que o grau de que é 2, atendemos à condição do exercício.

Resposta

q(x) = x^2 + 6x + 8
r(x) = 1x + 4

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