Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois polinômios, e , que estão no conjunto (ou seja, os coeficientes são considerados módulo 11). Precisamos encontrar dois polinômios, e , também em , tal que:
onde é zero ou tem grau menor que 2. Para resolver isso, vamos usar o método da divisão polinomial, adaptado para os coeficientes em .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar os coeficientes negativos nos polinômios, convertendo-os para equivalentes positivos em módulo 11. Isso facilita a nossa conta:
Para :
já está ok.
(pois ).
Outro .
Então, fica:
Para , todos os coeficientes já estão positivos:
Passo 3
Agora, vamos realizar a divisão de por para encontrar e .
Dividendo inicial:
Divisor:
Objetivo: Encontrar de forma que o grau do dividendo reduza a cada passo, até que o grau do resto seja menor que 2.
Passo 4
Vamos começar a divisão passo a passo:
Primeiro termo:
Dividimos o termo de maior grau de pelo de : .
Então, começa com .
Multiplicação e subtração:
Multiplicamos atual, , por :
Subtraímos esse resultado de :
(Lembrando que em , e assim por diante.)
Segundo termo:
Pegamos o novo dividendo: .
Dividimos .
Adicionamos a : agora .
Multiplicação e subtração:
Multiplicamos por :
Simplificando os coeficientes módulo 11:
Então:
Subtraímos desse resultado do novo dividendo:
Terceiro termo:
Agora, dividimos .
Adicionamos a : agora .
Multiplicação e subtração final:
Multiplicamos por :
Simplificando:
Fica:
Subtraímos desse resultado do último dividendo:
Ou seja, .
Passo 5
Concluímos que:
q(x) = x^2 + 6x + 8
r(x) = 1x + 4
Como o grau de é 1, que é menor que o grau de que é 2, atendemos à condição do exercício.