Mostre que
é divisível por
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o polinômio
é divisível por
para todo
. Vamos usar o Teorema do Resto e também mostrar uma fatoração explícita via soma de progressão geométrica.
Passo 2
O Teorema do Resto afirma que, ao dividir um polinômio
por
, o resto é exatamente
. Logo, se
, então
é fator de
.
Passo 3
No nosso caso, basta tomar
e calcular
Como o resto da divisão por
é zero, concluímos que
divide
.
Passo 4
Para ver a fatoração de forma mais explícita, considere a soma de uma progressão geométrica:
válida para
. Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Resposta
Portanto,
é divisível por
e sua fatoração é: