Mostre que p(x)=x^n-1 é divisível por g(x)=x-1 para todo n >= 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio p(x)=x^n-1 é divisível por g(x)=x-1 para todo n>=1. Vamos usar o Teorema do Resto e também mostrar uma fatoração explícita via soma de progressão geométrica.

Passo 2

O Teorema do Resto afirma que, ao dividir um polinômio p(x) por x-a, o resto é exatamente p(a). Logo, se p(a)=0, então x-a é fator de p(x).

Passo 3

No nosso caso, basta tomar a=1 e calcular
p(1)=1^n-1=0
Como o resto da divisão por x-1 é zero, concluímos que x-1 divide x^n-1.

Passo 4

Para ver a fatoração de forma mais explícita, considere a soma de uma progressão geométrica:
1 + x + x^2 + dots + x^n-1 = x^n - 1x - 1,
válida para xneq1. Multiplicando ambos os lados por x-1 obtemos
x^n - 1 = (x - 1),(1 + x + x^2 + dots + x^n-1)

Resposta

Portanto, x^n - 1 é divisível por x - 1 e sua fatoração é:
x^n - 1 = (x - 1)sumk=0^n-1x^k

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