5- Os dados abaixo representam uma amostra de 5 fábricas de uma indústria. Pede-se:- a-) Obter a equação de regressão linear do custo total em função da produção, interpretando seu coeficiente de regressão. b-) Ajustar um modelo potência Y=\alpha * X^{\beta} para o custo total como função da produção. c-) Qual modelo ajusta-se melhor aos dados, se o coeficiente de determinação do modelo exponencial for 0,8760 ? Por quê?
Custo Total (em milhões de reais) 70 30 52 35 70
Produção (em mil toneladas) 12 4 10 8 11
1^{a} Questão =2,5 \quad 2^{a} Questão =2,5 \quad 3^{a} Questão =2,0 \quad 4^{a} Quest =1,0 \quad 5^{a} Questão =2,0

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de cinco fábricas com custo total Y (em milhões de reais) e produção X (em mil toneladas):
\begin{array}{c|ccccc} X & 12 & 4 & 10 & 8 & 11\\hline Y & 70 & 30 & 52 & 35 & 70 \end{array}
Pede-se
a) ajustar a regressão linear simples de Y em função de X e interpretar o coeficiente angular;
b) ajustar o modelo potência Y=\alpha\,X^{\beta} por transformação log-log;
c) comparar esse ajuste com um modelo exponencial cujo R^2=0{,}8760, indicando qual é o melhor.
Vamos usar mínimos quadrados e, para o modelo potência, a transformação \ln Y = \ln\alpha + \beta\,\ln X.

Passo 2

Calculamos as médias
\bar X=\frac{12+4+10+8+11}{5}=9,\quad \bar Y=\frac{70+30+52+35+70}{5}=51{,}4.
Em seguida
S_{xx}=\sum (X_i-\bar X)^2 =40,\quad S_{xy}=\sum (X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)=217.
O coeficiente angular da reta é
b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}=\frac{217}{40}=5{,}425,
e o intercepto
b_0=\bar Y - b_1\,\bar X=51{,}4 - 5{,}425\cdot9 = 2{,}575.
Logo, a equação de regressão linear é
\hat Y = 2{,}575 + 5{,}425\,X.
Interpretando b_1: cada acréscimo de 1 (mil toneladas) em X eleva o custo médio em 5{,}425 milhões de reais.

Passo 3

Para o coeficiente de determinação do ajuste linear, usamos
\mathrm{SST}=\sum (Y_i-\bar Y)^2=1\,419{,}2, \quad \mathrm{SSR}=b_1\,S_{xy}=5{,}425\cdot217=1\,177{,}225,
R^2_{\text{lin}}=\frac{\mathrm{SSR}}{\mathrm{SST}} =\frac{1\,177{,}225}{1\,419{,}2}\approx0{,}8291.

Passo 4

Para o modelo potência definimos u_i=\ln X_i, v_i=\ln Y_i. Calculamos \bar u=2{,}1302, \bar v=3{,}8809,
S_{uu}=\sum(u_i-\bar u)^2=0{,}7832, \quad S_{uv}=\sum(u_i-\bar u)(v_i-\bar v)=0{,}6142.
O expoente é
\beta=\frac{S_{uv}}{S_{uu}}=\frac{0{,}6142}{0{,}7832}\approx0{,}7843,
e \ln\alpha=\bar v - \beta\,\bar u=2{,}2091, de onde \alpha=e^{2{,}2091}\approx9{,}108.
Assim o ajuste potência é
\hat Y = 9{,}108\,X^{0{,}7843}.

Passo 5

No espaço (u,v) o R^2 vale
\mathrm{SST}_{v}=\sum(v_i-\bar v)^2=0{,}6112, \quad \mathrm{SSR}_{v}=\beta\,S_{uv}=0{,}7843\cdot0{,}6142=0{,}4818,
R^2_{\text{pot}}=\frac{\mathrm{SSR}_{v}}{\mathrm{SST}_{v}} =\frac{0{,}4818}{0{,}6112}\approx0{,}7886.

Passo 6

Comparamos os três R^2:
R^2_{\text{lin}}\approx0{,}8291,\quad R^2_{\text{pot}}\approx0{,}7886,\quad R^2_{\exp}=0{,}8760.
O maior valor é 0{,}8760 do modelo exponencial, logo ele ajusta melhor os dados, pois retém a maior fração da variabilidade de Y.

Resposta

a) \displaystyle \hat Y = 2{,}575 + 5{,}425\,X. O coeficiente angular indica que cada mil toneladas adicionais aumentam o custo em 5{,}425 milhões de reais.
b) \displaystyle \hat Y = 9{,}108\,X^{0{,}7843}.
c) O modelo exponencial é o melhor, pois seu coeficiente de determinação R^2=0{,}8760 é o maior.

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