1- O tempo de montagem de determinados conectores utiliza um processo já há algum tempo, que dura em média 3,4 segundos. Está sendo analisada a possibilidade de troca deste processo para um outro que se afirma possuir um tempo de montagem maior. Para esta análise foi retirada uma amostra e observados os tempos ( Y ) de montagem de conectores por um operário padrão utilizando o novo processo, em segundos: 3,5 ; 3,5 ; 2,6 ; 5,0 ; 4,2 ; 5,5; 3,7; 3,7; 2,1; 4,2; 2,7; 2,8; 3,1; 3,1; 4,6; 3,6; 5,5; 3,8.
Pede-se:
I-) a-) O dispositivo de ramos e folhas b-) a média c-) a mediana d-) a moda e-) o octogésimo percentil f-) a variância g-) o coeficiente de variação.
II-) a-) Obter o intervalo de 99 \% de confiança para o tempo médio de montagem dos conectores utilizando o novo processo.
b) Calcule o tamanho mínimo da amostra que seria necessária para estimar a média com 95 \% de confiança e um erro de 1,5 segundos.
III-) a-) Formule as hipóteses apropriadas para investigar se a empresa deve mudar para o novo processo ou manter o atual b-) Teste essas hipóteses e tire a conclusão usando \alpha=0,05. c-) Encontre uma informação para o p-valor da estatística de teste.

Passo 1

O enunciado trata de um processo de montagem de conectores em que o tempo médio atual é \mu_0=3,4 s. Foi coletada uma amostra de tamanho n=18 com os tempos
3,5;\;3,5;\;2,6;\;5,0;\;4,2;\;5,5;\;3,7;\;3,7;\;2,1;\;4,2;\;2,7;\;2,8;\;3,1;\;3,1;\;4,6;\;3,6;\;5,5;\;3,8.
Vamos fazer estatística descritiva (I), construir intervalo de confiança e calcular tamanho amostral (II) e finalmente testar H_0\colon\mu=3,4 contra H_1\colon\mu>3,4 com \alpha=0,05 (III).

Passo 2

Construindo o diagrama de ramos e folhas (cada folha é o décimo de segundo):
2 | 16783 | 115567784 | 2265 | 055

Passo 3

Calculamos a média amostral:
\sum_{i=1}^{18}Y_i = 67,2, \quad \bar Y = \frac{67,2}{18} \approx 3,733\text{ s}.

Passo 4

Ordenando os dados, a mediana é a média entre o 9.º e o 10.º valores:
Y_{(9)}=3,6,\;Y_{(10)}=3,7 \quad\Longrightarrow\quad \text{mediana} = \frac{3,6+3,7}{2} = 3,65\text{ s}.

Passo 5

Verificamos frequências: vários valores (3,1; 3,5; 3,7; 4,2; 5,5) ocorrem duas vezes. Não há moda única (dados multimodais).

Passo 6

Para o octogésimo percentil usamos L=(n+1)\,0,80=19\cdot0,80=15,2, logo entre o 15.º 4,6 e o 16.º 5,0:
P_{80} = 4,6 + 0,2\,(5,0-4,6)=4,68\text{ s}.

Passo 7

Calculamos a variância amostral:
\sum Y_i^2 = 266,74, \quad \sum(Y_i-\bar Y)^2 = 266,74 - 18\cdot(3,733)^2 =15,856,
s^2 = \frac{15,856}{18-1}\approx0,933\;(\text{s}^2).

Passo 8

O coeficiente de variação é
CV = \frac{s}{\bar Y}\times100\% = \frac{\sqrt{0,933}}{3,733}\times100\%\approx25{,}9\%.

Passo 9

Intervalo de confiança de 99\% para \mu (usando t_{0,005,17}=2,898):
\bar Y \pm t_{\frac{\alpha}{2},17}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =3,733 \pm 2,898\frac{\sqrt{0,933}}{\sqrt{18}} \approx3,733 \pm0,660
\Longrightarrow\;[3,073;\;4,393]\text{ s}.

Passo 10

Tamanho mínimo para erro máximo E=1,5 s com 95\% de confiança (usando z_{0,025}=1,96 e s\approx\sqrt{0,933}):
n = \Bigl(\frac{z\,s}{E}\Bigr)^2 =\Bigl(\frac{1,96\cdot0,966}{1,5}\Bigr)^2 \approx1,59 \quad\Longrightarrow\quad n_{\min}=2.

Passo 11

Formulamos as hipóteses para testar se o novo processo é mais lento:
H_0\colon \mu =3,4 \quad\text{vs.}\quad H_1\colon \mu>3,4.

Passo 12

Estatística de teste t:
t = \frac{\bar Y - 3,4}{s/\sqrt{n}} = \frac{3,733 - 3,4}{0,966/\sqrt{18}} \approx\frac{0,333}{0,2276}\approx1,464.
O valor crítico para \alpha=0,05 (um lado, df=17) é t_{0,05,17}=1,740. Como 1,464<1,740, não rejeitamos H_0.

Passo 13

O p-valor (unilateral) é
p = P(T_{17}>1,464)\approx0,08.

Resposta

I
a) Diagrama de ramos e folhas:
2 | 16783 | 115567784 | 2265 | 055
b) \bar Y\approx3,733 s
c) Mediana =3,65 s
d) Sem moda única (multimodal)
e) 80.º percentil \approx4,68 s
f) Variância s^2\approx0,933 s^{2}
g) CV\approx25{,}9\%
II
a) IC 99\% para \mu: [3,073;\;4,393] s
b) n_{\min}\approx2
III
a) H_0\colon \mu=3,4 vs. H_1\colon \mu>3,4
b) Estatística t\approx1,464, t_{0,05,17}=1,740, não rejeita H_0
c) p\text{-valor}\approx0,08

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