Dados
. Considere as retas
Sabendo que estas retas são concorrentes, é correto afirmar que:
b)
e
é qualquer
b)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas retas,
e
, definidas com parâmetros
e
. A pergunta quer saber quais valores de
e
fazem com que essas duas retas sejam concorrentes, ou seja, que elas se encontrem em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas.
A reta
está definida por:
Isso significa que podemos expressar
e
em função de
:
A reta
é definida pelo sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para expressar
e
em função de
.
Passo 3
Vamos resolver o sistema para a reta
. Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Isolando
:
Agora, substituindo
de volta na expressão de
:
Então, a reta
pode ser parametrizada como:
Passo 4
Agora, para que as retas
e
sejam concorrentes, elas devem ter pelo menos um ponto em comum. Ou seja, deve existir um valor de
que satisfaça as equações de ambas as retas simultaneamente.
Da reta
:
Da reta
:
Vamos igualar as expressões de
e
das duas retas:
Vamos resolver a primeira equação para encontrar uma relação entre
e
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando os termos:
Fatorando
:
Para que exista uma solução para
, o coeficiente de
não pode ser zero, então:
No entanto, se
, analisemos a segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso é impossível, o que indica que as retas são concorrentes apenas se
. E, nesse caso, a equação resultante não depende de
, ou seja,
pode ser qualquer valor real.
Resposta
Portanto, a alternativa correta é:
b)
e
é qualquer