Dados alpha, beta in R. Considere as retas
r: x=y-alpha2=-z e s:l 4 x-beta y-1=0 y+2 z=0
Sabendo que estas retas são concorrentes, é correto afirmar que:
b) beta=2 e alpha é qualquer

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem duas retas, e , definidas com parâmetros e . A pergunta quer saber quais valores de e fazem com que essas duas retas sejam concorrentes, ou seja, que elas se encontrem em um ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas.
A reta x = y - alpha2 = -z está definida por:
y = 2x + alpha e z = -x
Isso significa que podemos expressar 4x - beta y - 1 = 0 y + 2z = 0 e em função de :
A reta é definida pelo sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para expressar e em função de .

Passo 3

Vamos resolver o sistema para a reta y + 2z = 0 Rightarrow y = -2z . Da segunda equação:
4x - beta(-2z) - 1 = 0 Rightarrow 4x + 2beta z - 1 = 0
Substituindo 2beta z = -4x + 1 Rightarrow z = -4x + 12beta na primeira equação:
y = -2 ( -4x + 12beta ) = 8x - 22beta = 4x - 1beta
Isolando y = 4x - 1beta e z = -4x + 12beta :
Agora, substituindo de volta na expressão de :
Então, a reta pode ser parametrizada como:

Passo 4

Agora, para que as retas y = 2x + alpha e z = -x e y = 4x - 1beta e z = -4x + 12beta sejam concorrentes, elas devem ter pelo menos um ponto em comum. Ou seja, deve existir um valor de 2x + alpha = 4x - 1beta e -x = -4x + 12beta que satisfaça as equações de ambas as retas simultaneamente.
Da reta 2x + alpha = 4x - 1beta :
2beta x + alpha beta = 4x - 1
Da reta 2beta x - 4x = -alpha beta - 1 :
x(2beta - 4) = -alpha beta - 1
Vamos igualar as expressões de 2beta - 4 neq 0 Rightarrow beta neq 2 e -x = -4x + 12 times 2 Rightarrow -x = -4x + 14 das duas retas:
-4x = -4x + 1
Vamos resolver a primeira equação para encontrar uma relação entre 0 = 1 e :
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando os termos:
Fatorando :
Para que exista uma solução para , o coeficiente de não pode ser zero, então:
No entanto, se , analisemos a segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso é impossível, o que indica que as retas são concorrentes apenas se . E, nesse caso, a equação resultante não depende de , ou seja, pode ser qualquer valor real.

Resposta

Portanto, a alternativa correta é:
b) e é qualquer

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