Determine os valores de a para que a reta lx+y+z+a=0 x-y=0 intercepte a reta lx+y+1=0 x=z-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de que fazem com que duas retas interceptem uma à outra. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar trabalhar com sistemas lineares e entender como representar retas por meio de equações paramétricas ou simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que definem cada reta.
Reta 1:
x + y + z + a = 0 x - y = 0
Reta 2:
x + y + 1 = 0 x = z - 1

Passo 3

Para encontrar a interseção das duas retas, precisamos encontrar um ponto que satisfaça todas as quatro equações simultaneamente. Isso significa resolver o sistema formado pelas equações das duas retas.
Vamos começar resolvendo a Reta 1 para expressar algumas variáveis em termos de outras.

Passo 4

Da Reta 1:
x - y = 0 implies x = y
Substituindo x + x + z + a = 0 implies 2x + z + a = 0 implies z = -2x - a na primeira equação:
x = y z = -2x - a
Agora, temos expressões para x = t y = t z = -2t - a e em termos de :
Podemos parametrizar a Reta 1 usando um parâmetro :

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a Reta 2.
Da Reta 2:
x = z - 1 implies z = x + 1
Substituindo na primeira equação da Reta 2:
x + y + 1 = 0 implies y = -x - 1
Então, temos:
x = t y = -t - 1 z = t + 1

Passo 6

Para as retas interceptarem, deve existir um ponto que satisfaça ambas as parametrizações. Ou seja, devemos ter:
tReta 1 = tReta 2 = t (mesmo parâmetro para simplificação) âçã
Então, igualamos as coordenadas das duas parametrizações:
t = t (já está ok) t = -t - 1 -2t - a = t + 1 áá

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
t = -t - 1 -2t - a = t + 1
Da primeira equação:
t + t = -1 implies 2t = -1 implies t = -12
Agora, substituímos -2(-12) - a = -12 + 1 1 - a = 12 -a = 12 - 1 -a = -12 a = 12 na segunda equação para encontrar :

Resposta

O valor de que faz com que as duas retas se interceptem é .

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