Determine os valores de para que a reta intercepte a reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de que fazem com que duas retas interceptem uma à outra. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar trabalhar com sistemas lineares e entender como representar retas por meio de equações paramétricas ou simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que definem cada reta.
Reta 1:
Reta 2:
Passo 3
Para encontrar a interseção das duas retas, precisamos encontrar um ponto que satisfaça todas as quatro equações simultaneamente. Isso significa resolver o sistema formado pelas equações das duas retas.
Vamos começar resolvendo a Reta 1 para expressar algumas variáveis em termos de outras.
Passo 4
Da Reta 1:
Substituindo na primeira equação:
Agora, temos expressões para e em termos de :
Podemos parametrizar a Reta 1 usando um parâmetro :
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a Reta 2.
Da Reta 2:
Substituindo na primeira equação da Reta 2:
Então, temos:
Passo 6
Para as retas interceptarem, deve existir um ponto que satisfaça ambas as parametrizações. Ou seja, devemos ter:
Então, igualamos as coordenadas das duas parametrizações:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações:
t = -t - 1 -2t - a = t + 1
Da primeira equação:
t + t = -1 implies 2t = -1 implies t = -12
Agora, substituímos -2(-12) - a = -12 + 1 1 - a = 12 -a = 12 - 1 -a = -12 a = 12 na segunda equação para encontrar :
Resposta
O valor de que faz com que as duas retas se interceptem é .