Encontre o ponto no qual a reta determinada pelos pontos A=(3,-1,7), B=(4,2,-3) intercepta o plano 6 x+4 y+z=25.
Resposta: X=(72, 12, 2)

Passo 1

Então, a gente tem um problema de geometria no espaço 3D. A questão pede para encontrar o ponto onde uma reta, definida pelos pontos e , intercepta um plano dado pela equação . Pra resolver isso, vamos precisar usar vetores e equações de reta e de plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta. A direção é dada pela diferença dos pontos d = B - A = (4 - 3, 2 - (-1), -3 - 7) = (1, 3, -10) e r(t) = A + td = (3 + t, -1 + 3t, 7 - 10t) :
Então, a reta pode ser parametrizada como:
Aqui, é o parâmetro.

Passo 3

Agora, queremos saber onde essa reta intercepta o plano 6(3 + t) + 4(-1 + 3t) + (7 - 10t) = 25 . Para isso, substituímos as coordenadas da reta na equação do plano:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 4

Expandindo a equação:
18 + 6t - 4 + 12t + 7 - 10t = 25
Somando os termos semelhantes:
(6t + 12t - 10t) + (18 - 4 + 7) = 25
8t + 21 = 25
Subtraindo 21 de ambos os lados:
8t = 4
Dividindo por 8:
t = 48 = 12

Passo 5

Agora que temos o valor de x = 3 + 12 = 72 , substituímos de volta na equação da reta para encontrar o ponto de interseção:
y = -1 + 3(12) = -1 + 32 = 12
z = 7 - 10(12) = 7 - 5 = 2

Resposta

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