Estude a posição relativa dos planos e , , de acordo com os valores possíveis de .
Resposta: e e transversais
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois planos:
O plano .
O plano definido pelas equações paramétricas , onde e são números reais.
Queremos entender como esses dois planos se relacionam dependendo do valor de . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e suas posições relativas (paralelos ou se intersectam).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a ele e é útil para determinar a orientação do plano no espaço.
Para o plano , a equação está na forma padrão , então o vetor normal é .
Para o plano , que está definido por uma posição inicial e dois vetores diretores e , precisamos encontrar o vetor normal . Isso é feito calculando o produto vetorial desses dois vetores diretores:
Agora que temos os vetores normais dos dois planos:
n1 = (-1, 1, 3)
n2 = (m, -m, -3)
Para verificar se os planos são paralelos, precisamos ver se os vetores normais são proporcionais, ou seja, se existe um escalar k tal que n2 = k n1.
Vamos comparar as componentes:
m = k(-1) Rightarrow k = -m
-m = k(1) Rightarrow k = -m
-3 = k(3) Rightarrow k = -1
Para que as três igualdades sejam verdadeiras simultaneamente, k deve ser igual a -m e tamb��m a -1. Portanto:
-m = -1 Rightarrow m = 1
Passo 5
Concluímos que quando m = 1, os vetores normais são proporcionais, ou seja, n2 = -1 cdot n1. Isso significa que os planos pi1 e pi2 são paralelos.
Se m neq 1, os vetores normais não são proporcionais, indicando que os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam em uma linha. Nesse caso, os planos são chamados de transversais.
Resposta
Para m = 1, os planos pi1 e pi2 são paralelos (pi1 paral<=l pi2). Se m neq 1, os planos são transversais e se intersectam.