Estude a posição relativa dos planos pi1:-x+y+3 z+1=0 e pi2: X=(1,1,1)+lambda(1,1,0)+mu(2,-1, m), lambda, mu in R, de acordo com os valores possíveis de m.
Resposta: m=1 Rightarrow pi1 / / pi2 e m neq 1 Rightarrow pi1 e pi2 transversais

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois planos:
  1. O plano pi1: -x + y + 3z + 1 = 0.
  2. O plano pi2 definido pelas equações paramétricas X = (1,1,1) + lambda(1,1,0) + mu(2,-1,m), onde lambda e mu são números reais.
Queremos entender como esses dois planos se relacionam dependendo do valor de m. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional e suas posições relativas (paralelos ou se intersectam).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é um vetor perpendicular a ele e é útil para determinar a orientação do plano no espaço.
  • Para o plano pi1, a equação está na forma padrão ax + by + cz + d = 0, então o vetor normal é n1 = (-1, 1, 3).
  • Para o plano pi2, que está definido por uma posição inicial X0 = (1,1,1) e dois vetores diretores v1 = (1,1,0) e v2 = (2,-1,m), precisamos encontrar o vetor normal n2. Isso é feito calculando o produto vetorial desses dois vetores diretores:
n2 = v1 times v2

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial n2 = v1 times v2:
v1 = (1, 1, 0)
v2 = (2, -1, m)
O produto vetorial é dado por:
n2 = i & j & k 1 & 1 & 0 2 & -1 & m
Calculando o determinante:
n2 = i(1 cdot m - 0 cdot (-1)) - j(1 cdot m - 0 cdot 2) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 2)
n2 = (m)i - (m)j + (-1 - 2)k
n2 = (m, -m, -3)

Passo 4

Agora que temos os vetores normais dos dois planos:
n1 = (-1, 1, 3)
n2 = (m, -m, -3)
Para verificar se os planos são paralelos, precisamos ver se os vetores normais são proporcionais, ou seja, se existe um escalar k tal que n2 = k n1.
Vamos comparar as componentes:
m = k(-1) Rightarrow k = -m
-m = k(1) Rightarrow k = -m
-3 = k(3) Rightarrow k = -1
Para que as três igualdades sejam verdadeiras simultaneamente, k deve ser igual a -m e tamb��m a -1. Portanto:
-m = -1 Rightarrow m = 1

Passo 5

Concluímos que quando m = 1, os vetores normais são proporcionais, ou seja, n2 = -1 cdot n1. Isso significa que os planos pi1 e pi2 são paralelos.
Se m neq 1, os vetores normais não são proporcionais, indicando que os planos não são paralelos e, portanto, se intersectam em uma linha. Nesse caso, os planos são chamados de transversais.

Resposta

Para m = 1, os planos pi1 e pi2 são paralelos ( pi1 paral<=l pi2). Se m neq 1, os planos são transversais e se intersectam.

Exercícios relacionados