Dados u=(x1, y1), v=(x2, y2) in R^2 e alpha in R, mostre que
alpha(u+v)=alpha u+alpha v
Mostre todos os passos da sua demonstração, justificando cada etapa.

Passo 1

No enunciado, temos vetores u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em R^2 e escalar alphainR. Queremos provar que o produto escalar é distributivo sobre a soma, ou seja,
alpha(u+v)=alpha u+alpha v
Para isso, vamos usar as definições de soma e multiplicação escalar em R^2 e a propriedade distributiva em R.

Passo 2

Pela definição de soma de vetores em R^2, temos:
u+v = (x1+x2,;y1+y2)

Passo 3

Aplicando a definição de multiplicação escalar em R^2:
alpha(u+v) = alphal(x1+x2,;y1+y2r) = l(alpha(x1+x2),;alpha(y1+y2)r)

Passo 4

Pela distributividade do produto em R, podemos distribuir alpha nas somas:
l(alpha(x1+x2),;alpha(y1+y2)r) = (alpha x1+alpha x2,;alpha y1+alpha y2)

Passo 5

Observamos que, pela definição de multiplicação escalar,
alpha u = (alpha x1,;alpha y1), alpha v = (alpha x2,;alpha y2),
e pela definição de soma de vetores
alpha u+alpha v = (alpha x1+alpha x2,;alpha y1+alpha y2)
Logo,
alpha(u+v)=alpha u+alpha v

Resposta

alpha(u+v)=alpha u+alpha v

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