Seja V um espaço vetorial sobre K e lambda in K. Prove as afirmações abaixo:
(b) Se u, v in V, então existe único w in V tal que u+w=v.

Passo 1

O enunciado trabalha com um espaço vetorial V sobre um corpo K. Lembrando que a operação de soma em V faz de (V,+) um grupo abeliano, logo cada vetor uin V tem um inverso aditivo -u e existe o elemento neutro 0. Queremos mostrar que, dados u,vin V, existe um único vetor w tal que
u + w = v

Passo 2

(Existência) Definimos
w = (-u) + v
Como -uin V e vin V, segue que win V. Agora verificamos:
u + w = u + l((-u)+vr) = (u + (-u)) + v = 0 + v = v
Portanto existe pelo menos um win V satisfazendo u+w=v.

Passo 3

(Unicidade) Suponha que existam w e w' em V tais que
u + w = v e u + w' = v
Então
u + w = u + w'
e, somando à esquerda por -u, obtemos
(-u) + (u + w) = (-u) + (u + w') ;Longrightarrow; 0 + w = 0 + w' ;Longrightarrow; w = w'
Logo não pode haver dois vetores distintos que satisfaçam u+w=v.

Resposta

O vetor procurado é
w = (-u) + v,
e ele é único.

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