Seja
um espaço vetorial sobre
e
. Prove as afirmações abaixo:
(b) Se
, então existe único
tal que
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado trabalha com um espaço vetorial
sobre um corpo
. Lembrando que a operação de soma em
faz de
um grupo abeliano, logo cada vetor
tem um inverso aditivo
e existe o elemento neutro
. Queremos mostrar que, dados
, existe um único vetor
tal que
Passo 2
(Existência) Definimos
Como
e
, segue que
. Agora verificamos:
Portanto existe pelo menos um
satisfazendo
.
Passo 3
(Unicidade) Suponha que existam
e
em
tais que
Então
e, somando à esquerda por
, obtemos
Logo não pode haver dois vetores distintos que satisfaçam
.
Resposta
O vetor procurado é
e ele é único.