1. Dados os ângulos a seguir, calcule o resultado das operações. Logo após converter para radianos:
a) 45^{\circ} 22^{\prime} 12^{\prime \prime}+98^{\circ} 56^{\prime} 58^{\prime \prime}=

Passo 1

O enunciado dá dois ângulos em graus, minutos e segundos e pede que sejam somados; em seguida quer que o resultado seja convertido para radianos.
Dados:
  • Primeiro ângulo: 45^{\circ} 22^{\prime} 12^{\prime\prime}.
  • Segundo ângulo: 98^{\circ} 56^{\prime} 58^{\prime\prime}.
O que pedem:
  1. Somar os dois ângulos e escrever o resultado em ^{\circ}\,{}^{\prime}\,{}^{\prime\prime}.
  2. Converter esse resultado final para radianos.

Passo 2

Lembretes úteis (conversões entre unidades de ângulo):
  • 1^{\circ} = 60^{\prime}.
  • 1^{\prime} = 60^{\prime\prime}.
  • Logo 1^{\circ} = 3600^{\prime\prime}.
    Para converter um ângulo dado em graus, minutos e segundos para graus decimais usa-se a fórmula
\text{graus decimais} = \text{graus} + \frac{\text{minutos}}{60} + \frac{\text{segundos}}{3600}.
Para passar de graus para radianos usa-se
1^{\circ} = \frac{\pi}{180}\\ \text{rad}\quad\Longrightarrow\quad \text{radianos} = \text{graus} \cdot \frac{\pi}{180}.

Passo 3

Somar as partes de segundos:
12^{\prime\prime} + 58^{\prime\prime} = 70^{\prime\prime}.
Como 70^{\prime\prime} = 60^{\prime\prime} + 10^{\prime\prime} = 1^{\prime} + 10^{\prime\prime}, fazemos transporte de 1^{\prime} para as dezenas de minutos e sobra 10^{\prime\prime}.

Passo 4

Somar as partes de minutos, incluindo o transporte de 1^{\prime}:
22^{\prime} + 56^{\prime} + 1^{\prime}(\text{transporte}) = 79^{\prime}.
Como 79^{\prime} = 60^{\prime} + 19^{\prime} = 1^{\circ} + 19^{\prime}, fazemos transporte de 1^{\circ} para os graus e sobra 19^{\prime}.

Passo 5

Somar as partes de graus, incluindo o transporte de 1^{\circ}:
45^{\circ} + 98^{\circ} + 1^{\circ}(\text{transporte}) = 144^{\circ}.
Assim o resultado em ^{\circ}\,{}^{\prime}\,{}^{\prime\prime} é
144^{\circ}\;19^{\prime}\;10^{\prime\prime}.

Passo 6

Agora converter para radianos. Primeiro passo: passar para graus decimais usando
\text{graus decimais} = 144 + \frac{19}{60} + \frac{10}{3600}.
Calculemos a fração:
\frac{19}{60} + \frac{10}{3600} = \frac{19\cdot60 + 10}{3600} = \frac{1140 + 10}{3600} = \frac{1150}{3600}.
Simplificando \frac{1150}{3600} dividindo por 50:
\frac{1150}{3600} = \frac{23}{72}.
Portanto os graus decimais são
144 + \frac{23}{72} = \frac{144\cdot72 + 23}{72} = \frac{10391}{72}\\ \text{graus}.

Passo 7

Transformar para radianos multiplicando por \dfrac{\pi}{180}:
\text{radianos} = \frac{10391}{72}\cdot\frac{\pi}{180} = \frac{10391\pi}{12960}.
Podemos também dar uma aproximação decimal (usando \pi\approx 3{,}141592653589793):
\frac{10391\pi}{12960} \approx 2{,}51885098\\ \text{rad}.

Resposta

144^{\circ}19^{\prime}10^{\prime\prime}
\dfrac{10391\pi}{12960}\\ \text{rad} \approx 2{,}51885098\\ \text{rad}

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