1. Dados os ângulos a seguir, calcule o resultado das operações. Logo após converter para radianos:
b) 77^{\circ} 44^{\prime} 32^{\prime \prime}+31^{\circ} 04^{\prime} 59^{\prime \prime}=

Passo 1

O enunciado dá dois ângulos em graus, minutos e segundos e pede que se some os dois resultados e depois se converta o resultado para radianos. Os dados fornecidos são:
  • Primeiro ângulo: 77^\circ\,44'\,32''.
  • Segundo ângulo: 31^\circ\,04'\,59''.
    A tarefa é:
  1. somar os dois ângulos (em ^{\circ}\,'\,''),
  2. converter o ângulo soma para radianos.

Passo 2

Relembrando as unidades e como somar ângulos em ^{\circ}\,'\,'':
  • 1^\circ = 60' (um grau tem sessenta minutos).
  • 1' = 60'' (um minuto tem sessenta segundos).
    Ao somar, primeiro somam-se os segundos; se ultrapassar 60'' faz-se a “retenção” (carry) convertendo 60'' em 1'. Depois soma-se os minutos (incluindo o carry); se ultrapassar 60' faz-se retenção para graus. Por fim soma-se os graus.
Somando os segundos:
32'' + 59'' = 91''.
Como 91'' \ge 60'', subtrai-se 60'' para obter o resto em segundos e soma-se 1' aos minutos:
91'' = 60'' + 31'' \quad\Rightarrow\quad \text{resto }31'',\\ \text{carry }1'.

Passo 3

Agora somam-se os minutos, incluindo o carry de 1':
44' + 04' + 1' = 49'.
Como 49' < 60', não há nova retenção para graus.

Passo 4

Somam-se os graus:
77^\circ + 31^\circ = 108^\circ.
Portanto (agrupando os componentes obtidos nos passos anteriores) o valor total em graus-minutos-segundos corresponde aos componentes 108^\circ, 49' e 31''.

Passo 5

Agora vamos converter o resultado para radianos. Duas formas equivalentes: converter primeiro para graus decimais ou trabalhar em segundos de arco. Vou mostrar as duas ideias (são a mesma coisa):
Forma por graus decimais:
\theta = 108^\circ + \frac{49'}{60} + \frac{31''}{3600} = 108 + \frac{49}{60} + \frac{31}{3600}.
Colocando sobre o mesmo denominador 3600:
\theta = \frac{108\cdot 3600 + 49\cdot 60 + 31}{3600} = \frac{391771}{3600}^\circ.
Forma direta em radianos (usando que 1^\circ=\dfrac{\pi}{180}\\ \text{rad} ou que 1''=\dfrac{\pi}{648000}\\ \text{rad}):
\theta_{\text{rad}}=\frac{391771}{3600}\cdot\frac{\pi}{180} =\frac{391771\pi}{648000}.

Passo 6

Para obter um valor decimal aproximado em radianos, multiplica-se por \pi e avalia-se numericamente:
\theta_{\text{rad}} \approx 1{,}89935940662\\ \text{rad}.
(Arredondamento conforme preferência do professor; aqui dei 11 casas decimais para ter precisão suficiente.)

Resposta

108^\circ\,49'\,31''
\dfrac{391771\pi}{648000}\\ \text{rad} \approx 1{,}89935940662\\ \text{rad}

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