Dados:
  • Aspersor:
    • Vazão na pressão de serviço =1 m^{3} / h
    • Pressão de serviço =2,5 kgf / cm^{2}
    • Espaçamento: 12 \times 12 m
  • Linha lateral
    • Material: PVC (C=l50)
    • Utilizar a equação de Hazen-WIiiiams
    • Diâmetro da tubulação =75 mm
    • Variação de pressão admissível na linha lateral =20 % da pressão de serviço
    • Primeiro aspersor localizado a 12 m da entrada da linha lateral
    • Desprezar perdas localizadas e variação de carga cinética
    • Assumir que o número de saídas é grande e F=\frac{1}{m+1}
Pede-se:
Para todos os itens, apresente também o comprimento máximo prático, arredondando o resultado para baixo, a fim de que se obtenha um número inteiro de aspersores na linha lateral.
b) O comprimento máximo teórico da lateral em declive de 1%

Passo 1

O enunciado trata de uma linha lateral de irrigação em PVC ( C=150, D=75 mm), com aspersores de 1,m³/h cada, espaçados de 12 m. A pressão de serviço é 2{,}5,kgf/cm² e admite-se até 20\% de variação, isto é, 0{,}5,kgf/cm² de queda máxima ao longo da tubulação. A linha está em declive de 1\%. Vamos usar a fórmula de Hazen–Williams para perda de carga distribuída, incorporar o fator de fluxo distribuído
F = \frac{1}{n+1}\quad\text{com }n=1{,}852,
e somar a variação estática de pressão devida ao declive.

Passo 2

A variação de pressão admissível é
\Delta p_{\max}=0{,}2\cdot2{,}5=0{,}5\text{ kgf/cm}^2.

Passo 3

  1. Vazão de entrada (no trecho de entrada) é Q_0=N\cdot1 m³/h, onde N é o número de aspersores. Como eles ficam a cada 12 m, e o último em x=L, temos N=L/12 e portanto
Q_0=\frac{L}{12}\;\text{m}^3/\text{h}=\frac{L}{12\cdot3600}\;\text{m}^3/\text{s}.
  1. A perda de carga por atrito (em m de coluna d’água) pela fórmula de Hazen–Williams é
h_f = 10{,}67\,\frac{L\;Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}D^{4{,}87}}.
Para obter a perda em kgf/cm² convertemos 1 m.c.a. ≃ 0{,}1 kgf/cm² e incluímos o fator F:
h_f\;(\mathrm{kgf/cm^2}) =0{,}1\cdot10{,}67\,\frac{L\,Q_0^{1{,}852}}{150^{1{,}852}\,(0{,}075)^{4{,}87}}\;\times\;F.
  1. A variação estática de pressão num declive de 1\% (ganho de pressão ao descer) em kgf/cm² é
h_s = 0{,}01\,L\;(\text{m})\times0{,}1\;\frac{\text{kgf/cm}^2}{\text{m}}=0{,}001\,L.
  1. A condição de projeto é
h_f - h_s \le 0{,}5.

Passo 4

Vamos reescrever h_f-h_s=0{,}5 na forma
A\,L^{2{,}852}-0{,}001\,L = 0{,}5,
onde
A =0{,}1\cdot10{,}67\;\frac{F}{150^{1{,}852}\,(0{,}075)^{4{,}87}\,(3600)^{1{,}852}}.
Calculando em etapas:
F=\frac1{1{,}852+1}=0{,}351, \quad 150^{1{,}852}\approx1{,}07\times10^4, \quad (0{,}075)^{4{,}87}\approx3{,}31\times10^{-6}, \quad 3600^{1{,}852}\approx3{,}96\times10^8.
Logo
A\approx \frac{0{,}1\times10{,}67\times0{,}351} {1{,}07\times10^4 \,\times\,3{,}31\times10^{-6}\,\times\,3{,}96\times10^8} \approx2{,}67\times10^{-8}.

Passo 5

Resolvendo
2{,}67\times10^{-8}\,L^{2{,}852}-0{,}001\,L -0{,}5=0
por tentativa (ou método numérico):
  • Para L=400 m, LHS \approx-0{,}20
  • Para L=440 m, LHS \approx-0{,}007
  • Para L=450 m, LHS \approx+0{,}040
    Interpolando, obtém-se
L_{\text{teórico}}\approx441{,}5\text{ m}.ó

Passo 6

Para ter um número inteiro de aspersores, L_{\text{prático}}=12\,N\le441{,}5á. Logo
N_{\max}=\bigl\lfloor 441{,}5/12\bigr\rfloor=36, \quad L_{\text{prático}}=36\times12=432\text{ m}.á

Resposta

Comprimento máximo teórico: 441{,}5 m
Comprimento máximo prático: 432 m (36 aspersores)

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