Encontre a equação paramétrica do plano que contém a reta C D definida pelos pontos C=(1,0,0) e D=(0,0,1) e é paralelo à reta A B definida pelos pontos A=(0,0,0) e B=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação paramétrica do plano que contém a reta CD e é paralelo à reta AB. Aqui estamos em geometria analítica no espaço R^3, usando representação vetorial de planos: basta um ponto no plano e dois vetores diretores independentes que apontem para direções dentro do plano.

Passo 2

Primeiro encontramos os vetores diretores:
  • Para a reta CD, escolhemos
v1 = D - C = (0,0,1) - (1,0,0) = (-1,0,1)
  • Para a reta AB, como o plano deve ser paralelo a ela, usamos
v2 = B - A = (1,1,1) - (0,0,0) = (1,1,1)
Como v1 e v2 não são colineares (um tem componente y=0, o outro tem yneq0), são independentes e podem servir de vetores diretores do plano.

Passo 3

Escolhemos o ponto C=(1,0,0) como ponto base do plano. A forma vetorial paramétrica do plano é então
r(s,t) = 100 + s,-101 + t,111, s,tinR

Passo 4

Podemos escrever componente a componente:
r(s,t) = 1 - s + t [6pt] 0 + 0 cdot s + t [6pt] 0 + s + t = 1 - s + t t s + t ]

Resposta

r(s,t) = 100 + s,-101 + t,111, s,tinR

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