Dados a, b, c, d in K, se b neq 0 e d neq 0 prove que ab+cd=a d+b cb d e ab cdot cd=a cdot cb cdot d.

Passo 1

O exercício trata das operações com frações em um corpo K. Precisamos mostrar, usando os axiomas de corpo (inverso multiplicativo e distributividade), que para a,b,c,din K com bneq0 e dneq0 valem as fórmulas de soma e produto de frações.

Passo 2

Lembrando que por definição de fração em um corpo a gente escreve
ab=acdot b^-1, cd=ccdot d^-1

Passo 3

Para provar a soma de frações, começamos por
ab+cd=a,b^-1+c,d^-1
Depois inserimos as unidades d,d^-1=1 e b,b^-1=1 para ter mesmo denominador, e aplicamos distributividade e a propriedade do inverso de produto: a,b^-1=a,b^-1(d,d^-1), c,d^-1=c,d^-1(b,b^-1),
resultando em
ab+cd=(a,d+b,c)(b^-1d^-1)=(ad+bc)(bd)^-1=ad+bcbd

Passo 4

Para provar o produto de frações, usamos diretamente a comutatividade e a regra do inverso de produto:
abcdotcd=(a,b^-1)(c,d^-1)=a,c,b^-1,d^-1=(ac)(bd)^-1=acbd

Resposta

As duas fórmulas ficam demonstradas:
ab+cd=ad+bcbd e abcdotcd=acbd.

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