Prove que
para todo
.
Passo 1
A questão pede para provar que a soma finita de uma progressão geométrica de razão
e
termos é dada por
, assumindo
. Vamos usar o truque de multiplicar a soma por
e subtrair para obter um cancelamento telescópico.
Passo 2
Seja
. Esse
é justamente a soma que queremos relacionar com a expressão
.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
:
Agora subtraímos termo a termo a segunda igualdade da primeira:
Passo 4
fazendo
No lado esquerdo podemos fatorar
:
Passo 5
isso nos dá
Como
, podemos dividir por
e obter
Passo 6
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