Prove que (1-x^n+1)1-x=1+x+cdots+x^n para todo x neq 1.

Passo 1

A questão pede para provar que a soma finita de uma progressão geométrica de razão x e n+1 termos é dada por 1 + x + x^2 + cdots + x^n = 1 - x^n+11 - x, assumindo x neq 1. Vamos usar o truque de multiplicar a soma por x e subtrair para obter um cancelamento telescópico.

Passo 2

Seja S = 1 + x + x^2 + cdots + x^n. Esse S é justamente a soma que queremos relacionar com a expressão (1 - x^n+1)/(1 - x).

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x:
xS = x + x^2 + x^3 + cdots + x^n+1
Agora subtraímos termo a termo a segunda igualdade da primeira:

Passo 4

fazendo
S - xS = (1 + x + x^2 + cdots + x^n) - (x + x^2 + cdots + x^n+1) = 1 - x^n+1
No lado esquerdo podemos fatorar S:

Passo 5

isso nos dá
S(1 - x) = 1 - x^n+1
Como x neq 1, podemos dividir por (1 - x) e obter

Passo 6

logo

Passo 7

S = 1 - x^n+11 - x

Resposta

1 + x + x^2 + cdots + x^n = dfrac1 - x^n+11 - x, para todo x neq 1.

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