Prove as seguintes unicidades:
a) Se x+theta=x para algum x in K, então theta=0;

Passo 1

O enunciado pede para provar a unicidade do elemento neutro aditivo em um conjunto K com operação +: se algum θ satisfaz x+θ=x para um dado x, então θ deve coincidir com o neutro 0. Vamos usar o axioma de existência de inverso aditivo e a associatividade para mostrar isso.

Passo 2

Começamos de x+θ=x e somamos o inverso aditivo de x, que chamamos de -x, dos dois lados:
-x+(x+θ)= -x + x
Pela associatividade, o lado esquerdo é
(-x+x)+θ = 0+θ = θ,
enquanto o lado direito é
-x+x = 0
Logo obtemos θ=0, provando que o neutro aditivo é único em K.

Resposta

θ = 0

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