Dados A=(4,3,-2), B=(5,5,-1), C=(6,4,-3), D=(7,6,0), pede-se:
a) As equações paramétricas da mediana m relativa ao vértice A do triang<= A B C.
b) O ângulo interno C do triang<= A B C.
c) As equações paramétricas da suporte s da altura do tetraedro A B C D de base A B C.

Passo 1

Temos os pontos
A=(4,3,-2), B=(5,5,-1), C=(6,4,-3), D=(7,6,0)
a) Queremos a mediana de A em triang<= ABC; basta achar o ponto médio de BC e escrever a reta A–médio.
b) O ângulo interno em C é ang<= ACB; vamos usar produto escalar entre CA e CB.
c) A altura do tetraedro de vértice D sobre a base ABC é a reta por D perpendicular ao plano ABC; o suporte é essa reta, direção igual ao vetor normal ao plano ABC.

Passo 2

O ponto médio M de BC é
M=l(5+62,,5+42,,-1+(-3)2r) =l(tfrac112,,tfrac92,,-2r)
A reta mediana m de A a M tem vetor diretor
AM=M-A=l(tfrac112-4,;tfrac92-3,;-2-(-2)r)=l(tfrac32,;tfrac32,;0r).
Portanto as equações paramétricas de m são
x=4+tfrac32,t, y=3+tfrac32,t, z=-2+0cdot t=-2

Passo 3

Os vetores em C são
CA=A-C=(-2,-1,1), CB=B-C=(-1,1,2)
O produto escalar é
CAcdotCB =(-2)(-1)+(-1)(1)+1cdot2=2-1+2=3,
e as normas
|CA|=raiz(-2)^2+(-1)^2+1^2=raiz6, |CB|=raiz(-1)^2+1^2+2^2=raiz6
Logo
cosang<= ACB =3raiz6,raiz6 =36=tfrac12 Longrightarrow ang<= ACB=60^circ

Passo 4

Para encontrar a reta altura, achamos o vetor normal ao plano ABC por
n =(B-A)times(C-A),
com
B-A=(1,2,1), C-A=(2,1,-1)
O produto vetorial dá
n =l((2)(-1)-(1)(1),,-l((1)(-1)-(1)(2)r),,(1)(1)-(2)(2)r) =(-3,,3,,-3)
Podemos usar o vetor simplificado (1,-1,1) como direção da altura.

Passo 5

A reta suporte s da altura parte de D=(7,6,0) e tem vetor diretor (1,-1,1). Assim as equações paramétricas de s são
x=7+t, y=6-t, z=0+t=t

Resposta

a)
x=4+tfrac32,t, y=3+tfrac32,t, z=-2
b)
60^circ.
c)
x=7+t, y=6-t, z=t

Exercícios relacionados