Escalone, classifique e resolva os sistemas:
-x+y-2 z & =1 2 x-y+3 t & =2 x-2 y+z-2 t & =0

Passo 1

O enunciado pede para escalonar, classificar e resolver o sistema linear com incógnitas x,y,z,t:
-x + y - 2z &= 1, 2x - y + 3t &= 2, x - 2y + z - 2t &= 0
O conteúdo é resolução de sistemas por escalonamento e análise de posto para classificação (solução única, nenhuma ou infinita).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e realizamos operações elementares até ficar em forma escalonada por linhas.
[cccc|c -1 & 1 & -2 & 0 & 1 2 & -1 & 0 & 3 & 2 1 & -2 & 1 & -2 & 0 ]
Multiplicamos a primeira linha por -1:
[cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & -1 2 & -1 & 0 & 3 & 2 1 & -2 & 1 & -2 & 0 ]
Eliminamos x em R 2 e R 3: R 2 R 2 -2R 1, R 3 R 3 -R 1
[cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & -4 & 3 & 4 0 & -1 & -3 & -2 & 1 ]
Somamos R 2 em R 3 para eliminar y em R 3: R 3 R 3 +R 2
[cccc|c 1 & -1 & 2 & 0 & -1 0 & 1 & -4 & 3 & 4 0 & 0 & -7 & 1 & 5 ]
Esta é a forma escalonada por linhas.

Passo 3

Na forma escalonada vemos pivôs em colunas 1,2,3. Logo
posto(A)=3, posto(Amid b)=3, #incógnitas=4 ó
Como posto <número de incógnitas e posto =posto(aumentada), o sistema é possível indeterminado (infinitas soluções, com 1 parâmetro livre).

Passo 4

Fazemos substituição regressiva:
Da terceira linha
-7z + t = 5 Longrightarrow t = 7z + 5
Da segunda linha
y -4z +3t = 4 Longrightarrow y = 4 + 4z -3t = 4 +4z -3(7z+5) = -11 -17z
Da primeira linha
x - y +2z = -1 Longrightarrow x = -1 + y -2z = -1 +(-11 -17z) -2z = -12 -19z

Passo 5

Introduzimos o parâmetro lambda para z. Assim
z = lambda, t = 7lambda + 5, y = -11 -17lambda, x = -12 -19lambda, lambdainR

Resposta

(x,y,z,t) = l(-12 -19lambda,,-11 -17lambda,,lambda,,5+7lambdar), lambdainR

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