Escalone, classifique e resolva os sistemas:
& x-y-2 z= 1 &-x+y+z= 2 & x-2 y+z=-2

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x - y - 2z = 1, -,x + y + z = 2, x - 2y + z = -2,
e pede para escalonar, classificar (se é sistema possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível) e resolver. O conteúdo aqui é eliminação de Gauss, montando a matriz aumentada, levando-a à forma escalonada e então aplicando substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema, colocando as equações como linhas:
[ccc|c 1 & -1 & -2 & 1 -1 & 1 & 1 & 2 1 & -2 & 1 & -2 ]
Agora, eliminamos o elemento abaixo de a11=1 nas linhas 2 e 3:
  • Soma da linha 1 na linha 2:
    L2 L2+L1
    l[-1+1,;1-1,;1-2mid2+1r]=[0,0,-1mid3].
  • Subtração da linha 1 na linha 3:
    L3 L3-L1
    l[1-1,;-2+1,;1+2mid -2-1r]=[0,-1,3mid -3].
A matriz fica
[ccc|c 1 & -1 & -2 & 1 0 & 0 & -1 & 3 0 & -1 & 3 & -3 ]

Passo 3

Para obter pivô na coluna 2, permutamos as linhas 2 e 3:
L2rightarrowL3 Longrightarrow [ccc|c 1 & -1 & -2 & 1 0 & -1 & 3 & -3 0 & 0 & -1 & 3 ]
Agora temos matriz em forma escalonada de linha.

Passo 4

A matriz escalonada
[ccc|c 1 & -1 & -2 & 1 0 & -1 & 3 & -3 0 & 0 & -1 & 3 ]
mostra pivôs nas colunas 1, 2 e 3. O posto é 3 e o número de incógnitas também é 3, logo o sistema é possível e determinado (única solução). Fazemos substituição regressiva:
Da terceira linha:
-1cdot z = 3 Longrightarrow z = -3
Da segunda linha:
-1cdot y + 3z = -3 Longrightarrow -y + 3(-3) = -3 Longrightarrow -y -9 = -3 Longrightarrow y = -6
Da primeira linha:
x - y - 2z = 1 Longrightarrow x -(-6) -2(-3) = 1 Longrightarrow x +6 +6 = 1 Longrightarrow x = -11

Resposta

O sistema é possível e determinado, com única solução
(x,y,z) = (-11,,-6,,-3)

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