(a) Sejam \vec{u}=(2,3) e \vec{v}=(3,2). Dado um vetor qualquer \vec{w}=(x, y), mostre que existem a e b tais que \vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v}.
(b) Mostre que se a \vec{u}+b \vec{v}=\overrightarrow{0} então a=b=0. Neste caso, o conjunto \{\vec{u}, \vec{v}\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores \vec{u}=(2,3) e \vec{v}=(3,2) formam uma base de \mathbb{R}^2. Na parte (a) devemos provar que qualquer \vec{w}=(x,y) pode ser escrito como combinação linear \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}. Na parte (b) devemos mostrar que essa combinação é única, isto é, que se a\vec{u}+b\vec{v}=\overrightarrow{0} então a=b=0. Vamos usar sistema linear e determinante.

Passo 2

Para a parte (a), escrevemos
\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v} \quad\Longrightarrow\quad (x,y)=\bigl(2a+3b,\;3a+2b\bigr).
Isso gera o sistema linear
2a+3b = x, \quad 3a+2b = y.

Passo 3

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[6pt] 3 & 2 \end{vmatrix} =2\cdot2 - 3\cdot3 = 4 - 9 = -5 \neq 0.
Como \Delta\neq0, o sistema tem solução única para quaisquer x,y, logo \vec{u},\vec{v} geram todo \mathbb{R}^2.]

Passo 4

Para encontrar explicitamente a e b, aplicamos regra de Cramer:
a = \frac{1}{\Delta} \begin{vmatrix} x & 3 \\[4pt] y & 2 \end{vmatrix} = \frac{x\cdot2 - 3\cdot y}{-5} = \frac{3y - 2x}{5},
b = \frac{1}{\Delta} \begin{vmatrix} 2 & x \\[4pt] 3 & y \end{vmatrix} = \frac{2\cdot y - x\cdot3}{-5} = \frac{3x - 2y}{5}.]

Passo 5

Para a parte (b), consideramos a combinação homogênea
a\vec{u}+b\vec{v}=\overrightarrow{0} \quad\Longrightarrow\quad 2a+3b=0, \;3a+2b=0.
Este é o mesmo sistema do Passo 2 com x=y=0. Como o determinante continua \Delta=-5\neq0, a única solução é
a=0, \quad b=0.

Resposta

(a) Dado \vec{w}=(x,y), existem
a = \frac{3y - 2x}{5}, \quad b = \frac{3x - 2y}{5}
tais que \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.
(b) A única solução de a\vec{u}+b\vec{v}=\overrightarrow{0} é a=b=0, logo \{\vec{u},\vec{v}\} é base de \mathbb{R}^2.

Exercícios relacionados