(a) Sejam \vec{u}=(2,3) e \vec{v}=(3,2). Dado um vetor qualquer \vec{w}=(x, y), mostre que existem a e b tais que \vec{w}=a \vec{u}+b \vec{v}.
(b) Mostre que se a \vec{u}+b \vec{v}=\overrightarrow{0} então a=b=0. Neste caso, o conjunto \{\vec{u}, \vec{v}\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores \vec{u}=(2,3) e \vec{v}=(3,2) formam uma base de \mathbb{R}^2. Na parte (a) devemos provar que qualquer \vec{w}=(x,y) pode ser escrito como combinação linear \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}. Na parte (b) devemos mostrar que essa combinação é única, isto é, que se a\vec{u}+b\vec{v}=\overrightarrow{0} então a=b=0. Vamos usar sistema linear e determinante.
Este é o mesmo sistema do Passo 2 com x=y=0. Como o determinante continua \Delta=-5\neq0, a única solução é
a=0, \quad b=0.
Resposta
(a) Dado \vec{w}=(x,y), existem
a = \frac{3y - 2x}{5}, \quad b = \frac{3x - 2y}{5}
tais que \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.
(b) A única solução de a\vec{u}+b\vec{v}=\overrightarrow{0} é a=b=0, logo \{\vec{u},\vec{v}\} é base de \mathbb{R}^2.