Dados
e
e
pertencente ao eixo das abscissas. Se o quadrado da soma das distâncias
e BC é mínima, podemos afirmar que a abscissa de C é:
a)
b) 2
c)
d) -2
a)
b) 2
c)
d) -2
Passo 1
O enunciado dá os pontos
,
e pede um ponto
no eixo
que minimize o quadrado da soma das distâncias
. O conteúdo é otimização de função de variável real usando a soma de distâncias e podemos usar derivada de
ou diretamente de
pois minimizar
é equivalente a minimizar
.
Passo 2
Escrevemos
e calculamos a derivada
Para estacionários impomos
, isto é
Passo 3
Elevando ao quadrado as duas margens (e depois tratando o sinal), obtemos
Disso vem
de onde
ou
. Testando o sinal em
, vê-se que o mínimo real de
ocorre em
Passo 4
Como
não está nas opções, comparamos os valores de
nas abscissas dadas:
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
O menor desses é em.
Resposta
-\tfrac12 (alternativa c)