Dados A(1,2) e B(-2,-1) e C pertencente ao eixo das abscissas. Se o quadrado da soma das distâncias A C e BC é mínima, podemos afirmar que a abscissa de C é:
a) \frac{1}{2}
b) 2
c) -\frac{1}{2}
d) -2

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,2), B=(-2,-1) e pede um ponto C=(x,0) no eixo x que minimize o quadrado da soma das distâncias AC+BC. O conteúdo é otimização de função de variável real usando a soma de distâncias e podemos usar derivada de
f(x)=\bigl(AC+BC\bigr)^2
ou diretamente de
g(x)=AC+BC=\sqrt{(x-1)^2+4}+\sqrt{(x+2)^2+1}\,,
pois minimizar g(x)^2 é equivalente a minimizar g(x).

Passo 2

Escrevemos
g(x)=\sqrt{(x-1)^2+4}+\sqrt{(x+2)^2+1}
e calculamos a derivada
g'(x)=\frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+4}}+\frac{x+2}{\sqrt{(x+2)^2+1}}.
Para estacionários impomos g'(x)=0, isto é
\frac{x-1}{\sqrt{(x-1)^2+4}}=-\frac{x+2}{\sqrt{(x+2)^2+1}}.

Passo 3

Elevando ao quadrado as duas margens (e depois tratando o sinal), obtemos
(x-1)^2\bigl((x+2)^2+1\bigr)=(x+2)^2\bigl((x-1)^2+4\bigr) \;\Longrightarrow\;(x-1)^2=4\,(x+2)^2.
Disso vem
x-1=2(x+2)\quad\text{ou}\quad x-1=-2(x+2),
de onde x=-5 ou x=-1. Testando o sinal em g'(x), vê-se que o mínimo real de g ocorre em
x=-1.

Passo 4

Como x=-1 não está nas opções, comparamos os valores de \bigl(AC+BC\bigr)^2 nas abscissas dadas:
  • Em x=\tfrac12: \bigl(AC+BC\bigr)^2\approx22{,}60.
  • Em x=2: \bigl(AC+BC\bigr)^2\approx40{,}45.
  • Em x=-\tfrac12: \bigl(AC+BC\bigr)^2\approx18{,}51.
  • Em x=-2: \bigl(AC+BC\bigr)^2\approx21{,}22.
    O menor desses é em x=-\tfrac12.

Resposta

-\tfrac12 (alternativa c)

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