Seja A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde a_{i j}=2 i-j, e B=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}, onde b_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { se } i \neq j \\\\ 3 & \text { se } i=j\end{array}\right., calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
(k) A^{t}-B^{t}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes 2\times2\): \(A=(a_{ij})\) com \(a_{ij}=2i-j\) e \(B=(b_{ij})\) com \[b_{ij}=\begin{cases} 1,&i\neq j,\\\\ 3,&i=j. \end{cases}
Pede-se o determinante de (A{t}-B{t}]. Vamos usar propriedades de transposta e determinante e depois calcular.

Passo 2

Primeiro, determinamos explicitamente A e B. Para A,
a_{11}=2\cdot1-1=1,\quad a_{12}=2\cdot1-2=0,
a_{21}=2\cdot2-1=3,\quad a_{22}=2\cdot2-2=2,
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A=\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&2\end{pmatrix}.
Para B, elementos diagonais são 3 e fora da diagonal são 1, então
B=\begin{pmatrix}3&1\\\ 1&3\end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos que para quaisquer matrizes quadradas de mesma ordem vale
\det\bigl(A^{t}-B^{t}\bigr) =\det\bigl((A-B)^{t}\bigr) =\det(A-B).

Passo 4

Calculamos A-B elemento a elemento:
A-B =\begin{pmatrix} 1-3 & 0-1\\\\ 3-1 & 2-3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 2 & -1\end{pmatrix}.

Passo 5

O determinante de uma 2\times2 \begin{pmatrix}p&q\r&s\end{pmatrix} é ps - qr. Aqui
\det(A-B)=(-2)\cdot(-1)-(-1)\cdot2 =2-(-2) =4.

Resposta

O valor do determinante de A^{t}-B^{t} é 4.

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