Os pontos A e B pertencem ao gráfico das curvas \mathrm{y}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} e y=\ln \mathrm{x} respectivamente se A tem abscissa 1 e B tem ordenada 1 , podemos afirmar que a distância AB vale:
a) \sqrt{2}
b) 2 \sqrt{e}
c) \sqrt{2}(e-1)
d) \sqrt{2}(1-e)

Passo 1

O problema dá duas curvas: y=e^x e y=\ln x. O ponto A pertence a y=e^x e tem abscissa 1; o ponto B pertence a y=\ln x e tem ordenada 1. Queremos a distância AB. Para isso vamos precisar:
  • Encontrar as coordenadas de A e B.
  • Aplicar a fórmula da distância entre dois pontos no plano.

Passo 2

Para a curva y=e^x com abscissa x=1, o ponto A é
A = (1, e^1) = (1,e).
Para a curva y=\ln x com ordenada y=1, resolvemos \ln x = 1, logo x=e, e o ponto B é
B = (e,1).

Passo 3

A distância entre A=(1,e) e B=(e,1) é dada por
d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(e - 1)^2 + (1 - e)^2}.

Passo 4

Note que (1 - e)^2 = (-(e-1))^2 = (e-1)^2. Portanto
d = \sqrt{(e-1)^2 + (e-1)^2} = \sqrt{2\,(e-1)^2} = \sqrt{2}\,(e-1).

Resposta

c) \sqrt{2}(e-1)

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