Dados a=(2,1,-3) e b=(1,-2,1), determinar o vetor v perp a, v perp b e| | v| |=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor v que seja perpendicular aos vetores a = (2, 1, -3) e b = (1, -2, 1), e que tenha magnitude igual a 5. Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial da matéria de Geometria Analítica. O produto vetorial de dois vetores nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais e, a partir disso, podemos ajustar a magnitude conforme necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial a times b. A fórmula para o produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
a times b = ( 1 cdot 1 - (-3) cdot (-2), (-3) cdot 1 - 2 cdot 1, 2 cdot (-2) - 1 cdot 1 )
Calculando cada componente:
a times b = ( 1 - 6, -3 - 2, -4 -1 ) = (-5, -5, -5)

Passo 3

Agora, temos que o vetor v é perpendicular a a e b, e ele é uma múltipla do vetor a times b, ou seja, v = k (a times b), onde k é uma constante que vamos determinar.
Primeiro, precisamos calcular a magnitude do vetor a times b. A fórmula da magnitude de um vetor c = (c1, c2, c3) é:
||c|| = raizc1^2 + c2^2 + c3^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
||a times b|| = raiz(-5)^2 + (-5)^2 + (-5)^2 = raiz25 + 25 + 25 = raiz75 = 5raiz3

Passo 4

Queremos que a magnitude de v seja 5. Sabemos que:
||v|| = ||k (a times b)|| = |k| cdot ||a times b||
Substituindo a magnitude que calculamos:
5 = |k| cdot 5raiz3 implies |k| = 55raiz3 = 1raiz3
Então, k = 1raiz3 ou k = -1raiz3. Podemos escolher qualquer um dos valores, já que ambos os vetores resultantes terão a magnitude correta e serão perpendiculares a a e b.

Resposta

Um vetor que satisfaz as condições é:
v = 1raiz3 cdot (-5, -5, -5) = ( -5raiz3, -5raiz3, -5raiz3 )
Se preferir a outra direção, também pode ser:
v = ( 5raiz3, 5raiz3, 5raiz3 )

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