Dados u=(2,-3,-6) e v=3 i-4 j-4 k, determine:
a) a projeção algébrica de v sobre u ( norma do vetor projeção de v sobre u );
b) 0 vetor projeção de v sobre u

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores: u = (2, -3, -6) e v = (3, -4, -4). O conteúdo envolvido aqui é projeção de vetores, que faz parte da Álgebra Vetorial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto escalar dos vetores e a norma (ou comprimento) de u.

Passo 2

Vamos começar calculando o produto escalar ( u cdot v) dos dois vetores. O produto escalar é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
u cdot v = (2)(3) + (-3)(-4) + (-6)(-4)
Calculando cada termo:
(2)(3) = 6
(-3)(-4) = 12
(-6)(-4) = 24
Somando todos:
u cdot v = 6 + 12 + 24 = 42

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de u, que é o comprimento do vetor. A fórmula para a norma |u| é:
|u| = raiz2^2 + (-3)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7

Passo 4

Com o produto escalar e a norma de u calculados, podemos encontrar a projeção algébrica de v sobre u, que é dada pela fórmula:
Projeção algébrica = u cdot v|u| = 427 = 6 çãé

Passo 5

Agora, para encontrar a projeção vetorial de v sobre u, usamos a fórmula:
Projeção vetorial = ( u cdot v|u|^2 ) u = ( 4249 ) u = ( 67 ) u çã
Multiplicando cada componente de u por 67:
Projeção vetorial = ( 67 times 2, 67 times (-3), 67 times (-6) ) = ( 127, -187, -367 ) çã

Resposta

a) A projeção algébrica de v sobre u é 6.
b) A projeção vetorial de v sobre u é ( 127, -187, -367 ).

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