Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a=(2,6,-1) e b=(0,-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores a = (2, 6, -1) e b = (0, -2, 1). Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular a dois vetores dados. Depois, vamos normalizar esse vetor para torná-lo unitário (com comprimento igual a 1).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial dos vetores a e b. O produto vetorial de dois vetores em 3 dimensões é dado pela seguinte fórmula:
a times b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Aplicando os valores dos vetores a = (2, 6, -1) e b = (0, -2, 1) na fórmula do produto vetorial:
a times b = i & j & k 2 & 6 & -1 0 & -2 & 1
Vamos calcular esse determinante:
a times b = i(6 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) - j(2 cdot 1 - (-1) cdot 0) + k(2 cdot (-2) - 6 cdot 0)
Simplificando cada termo:
= i(6 - 2) - j(2 - 0) + k(-4 - 0)
= i(4) - j(2) + k(-4)
= 4i - 2j - 4k
Então, o produto vetorial é o vetor (4, -2, -4).

Passo 4

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, precisamos normalizá-lo para obter um vetor unitário. Para isso, vamos calcular a magnitude (ou comprimento) do vetor (4, -2, -4) usando a fórmula:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + v3^2
Substituindo os valores:
|v| = raiz4^2 + (-2)^2 + (-4)^2 = raiz16 + 4 + 16 = raiz36 = 6

Passo 5

Com a magnitude calculada, podemos encontrar o vetor unitário dividindo cada componente do vetor (4, -2, -4) pela sua magnitude:
u = ( 46, -26, -46 ) = ( 23, -13, -23 )

Resposta

O vetor unitário ortogonal aos vetores a = (2, 6, -1) e b = (0, -2, 1) é u = ( dfrac23,; -dfrac13,; -dfrac23 ).

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