Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e . Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular a dois vetores dados. Depois, vamos normalizar esse vetor para torná-lo unitário (com comprimento igual a 1).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial dos vetores e . O produto vetorial de dois vetores em 3 dimensões é dado pela seguinte fórmula:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Aplicando os valores dos vetores a = (2, 6, -1) e b = (0, -2, 1) na fórmula do produto vetorial:
a times b = i & j & k 2 & 6 & -1 0 & -2 & 1
Vamos calcular esse determinante:
a times b = i(6 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) - j(2 cdot 1 - (-1) cdot 0) + k(2 cdot (-2) - 6 cdot 0)
Simplificando cada termo:
= i(6 - 2) - j(2 - 0) + k(-4 - 0)
= i(4) - j(2) + k(-4)
= 4i - 2j - 4k
Então, o produto vetorial é o vetor (4, -2, -4).
Passo 4
Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, precisamos normalizá-lo para obter um vetor unitário. Para isso, vamos calcular a magnitude (ou comprimento) do vetor (4, -2, -4) usando a fórmula: