Dados A=(-1,2,3) e B=(3,-2,0) encontre as coordenadas dos pontos C, D que são colineares com A e B e dividem o segmento A B em três partes iguais.

Passo 1

A gente tem os pontos A=(-1,2,3) e B=(3,-2,0), e precisa encontrar C e D que estão na reta que passa por A e B e dividem o segmento AB em três partes iguais. O conteúdo é geometria analítica no espaço, usando vetores e divisão de segmento.

Passo 2

Para dividir um segmento em partes iguais, usamos o vetor AB=B-A e a fórmula de ponto que fica a uma fração do caminho:
  • O ponto C que está a um terço de AB é dado por C=A+tfrac13AB.
  • O ponto D que está a dois terços de AB é dado por D=A+tfrac23AB.

Passo 3

Primeiro, calculamos o vetor AB:
AB=B-A=(3-(-1),,-2-2,,0-3)=(4,,-4,,-3)

Passo 4

Agora determinamos C:
C=A+tfrac13AB=(-1,2,3)+tfrac13(4,-4,-3)
Somando coordenada a coordenada:
  • xC=-1+tfrac43=tfrac13
  • yC=2-tfrac43=tfrac23
  • zC=3-1=2

Passo 5

Em seguida, calculamos D:
D=A+tfrac23AB=(-1,2,3)+tfrac23(4,-4,-3)
Somando coordenada a coordenada:
  • xD=-1+tfrac83=tfrac53
  • yD=2-tfrac83=-tfrac23
  • zD=3-2=1

Resposta

C = (\tfrac{1}{3},,\tfrac{2}{3},,2),\quad D = (\tfrac{5}{3},,-\tfrac{2}{3},,1)

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