Sejam A=(-1,0,2), B=(1,1,1) e C=(1,0,1). Mostre que o triângulo A B C é retângulo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o triângulo formado pelos pontos A, B e C no espaço é retângulo. Vamos usar produto escalar de vetores: se o produto escalar de dois vetores que saem de um mesmo vértice é zero, então o ângulo entre eles é reto.

Passo 2

Precisamos dos vetores que representam os lados do triângulo. Como o ângulo reto pode estar em qualquer vértice, escolhemos o vértice C e calculamos os vetores CA e CB.

Passo 3

Calculando CA e CB:
CA=A-C=(-1,0,2)-(1,0,1)=(-2,0,1)
CB=B-C=(1,1,1)-(1,0,1)=(0,1,0)
Agora usamos o produto escalar para ver se CA e CB são ortogonais. Lembrando que
CAcdotCB=(-2)cdot0+0cdot1+1cdot0=0
Como o produto escalar deu zero, os vetores são perpendiculares.

Passo 4

Concluímos que o ângulo em C é reto, logo o triângulo ABC é retângulo no vértice C.

Resposta

O triângulo ABC é retângulo em C, pois CAcdotCB=0.

Exercícios relacionados