Dados a, b \in \mathbb{Z} arbitrários, mostre que:
Se a^{2}=0, então a=0.

Passo 1

O enunciado dá que a,b\in\mathbb{Z} são inteiros quaisquer e pede para mostrar a implicação:
\text{se }a^{2}=0\text{ então }a=0.ã
Informações relevantes:
  • Temos um inteiro a tal que a^{2}=0.
  • Queremos concluir que a é o inteiro zero.
    (Observação: b foi declarado inteiro, mas não é usado na demonstração.)

Passo 2

Ideia do método: vou usar prova por contradição. Ou seja, suponho que a^{2}=0 e que, ao contrário do que queremos, a\neq0; daí mostro uma contradição com uma propriedade básica dos inteiros, o que implica que a suposição a\neq0 é falsa e então a=0.

Passo 3

Lembrete útil sobre inteiros e valor absoluto: para um inteiro a\) definimos o valor absoluto \(|a|\) como \[|a|= \begin{cases} a, & \text{se }a\ge0,\\[4pt] -a, & \text{se }a<0. \end{cases}
Dessa definição decorre que |a|\] é um inteiro não negativo. Além disso, se \(a\neq0 então |a|\ge1. Explico por partes:
  • Se a>0 e a\in\mathbb{Z}, então o menor inteiro positivo é 1, logo a\ge1 e portanto |a|=a\ge1.
  • Se a<0, então -a>0 é inteiro, logo -a\ge1 e portanto |a|=-a\ge1.
    Portanto, em todos os casos a\neq0 implica |a|\ge1.]

Passo 4

Relação entre quadrado e valor absoluto: para todo a\in\mathbb{Z} vale
a^{2}=|a|^{2},
porque elevar ao quadrado elimina o sinal. Agora, a partir de |a|\ge1 segue que
|a|^{2}\ge1^{2}=1.
Assim, se a\neq0 então a^{2}=|a|^{2}\ge1.

Passo 5

Fechando a contradição: começamos supondo a^{2}=0. Se assumirmos também a\neq0, pelo passo anterior teríamos a^{2}\ge1, ou seja a^{2}\ge1 e ao mesmo tempo a^{2}=0. Isso é impossível (contradição), porque nenhum número inteiro pode ser simultaneamente 0 e maior ou igual a 1.

Passo 6

Conclusão: a suposição a\neq0 leva a contradição, logo ela é falsa. Portanto deve ser a=0. Como verificação rápida e intuitiva: 0^{2}=0 enquanto qualquer inteiro diferente de zero (por exemplo \pm1,\pm2,\dots) tem quadrado pelo menos 1.

Resposta

a=0

Exercícios relacionados