Dados
arbitrários, mostre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá que
são inteiros quaisquer e pede para mostrar a implicação:
Informações relevantes:
- Temos um inteiro
tal que . - Queremos concluir que
é o inteiro zero.
(Observação:foi declarado inteiro, mas não é usado na demonstração.)
Passo 2
Ideia do método: vou usar prova por contradição. Ou seja, suponho que
e que, ao contrário do que queremos,
; daí mostro uma contradição com uma propriedade básica dos inteiros, o que implica que a suposição
é falsa e então
.
Passo 3
Lembrete útil sobre inteiros e valor absoluto: para um inteiro
Dessa definição decorre que
então
. Explico por partes:
- Se
e , então o menor inteiro positivo é , logo e portanto . - Se
, então é inteiro, logo e portanto .
Portanto, em todos os casosimplica .]
Passo 4
Relação entre quadrado e valor absoluto: para todo
vale
porque elevar ao quadrado elimina o sinal. Agora, a partir de
segue que
Assim, se
então
.
Passo 5
Fechando a contradição: começamos supondo
. Se assumirmos também
, pelo passo anterior teríamos
, ou seja
e ao mesmo tempo
. Isso é impossível (contradição), porque nenhum número inteiro pode ser simultaneamente
e maior ou igual a
.
Passo 6
Conclusão: a suposição
leva a contradição, logo ela é falsa. Portanto deve ser
. Como verificação rápida e intuitiva:
enquanto qualquer inteiro diferente de zero (por exemplo
) tem quadrado pelo menos
.