e pede para resolvê‑lo usando a decomposição LU com pivoteamento parcial.
As informações importantes são as entradas da matriz dos coeficientes A e do vetor do lado direito b:
Primeiro passo do procedimento (pivoteamento parcial na coluna 1): escolher, entre as linhas 1 a 3, o elemento de maior valor absoluto na coluna 1 como pivô. Os valores absolutos na coluna 1 são |0|,|2|,|1|, então o maior é |2| na linha 2. Deve‑se trocar a linha 1 com a linha 2. Essa troca é registrada por uma matriz de permutação P (vamos atualizá‑la conforme realizamos trocas).
Após trocar linha 1 e linha 2, a matriz aumentada A|b fica
Explicando o que faremos ao eliminar (pequula aula): para eliminar abaixo do pivô \,a_{11}\, usamos multiplicadores
m_{i1}=\frac{a_{i1}}{a_{11}}\quad\text{para }i>1.
Esses multiplicadores são exatamente as entradas da matriz L (abaixo da diagonal) quando construímos PA=LU. Agora calculamos os multiplicadores da primeira coluna:
Pivoteamento na coluna 2: entre as linhas 2 e 3 (submatriz de baixo), escolhemos o maior valor absoluto na coluna 2. Os candidatos são |1| e |4|, logo escolhe‑se a linha 3 como pivô. Faz‑se a troca da linha 2 com a linha 3 (essa troca também entra na matriz de permutação P). Após a troca a matriz aumentada fica
Regra importante ao pivotear durante LU: quando uma troca envolve linhas já afetadas por eliminações anteriores, deve‑se também trocar as entradas já acumuladas de L nas colunas anteriores (isso garante que L permaneça consistente). Vou aplicar esse procedimento quando montar L abaixo.]
Passo 5
Agora eliminamos abaixo do pivô a_{22}=4. Calculamos o multiplicador
ou seja, PA é a matriz original com linhas reordenadas como [\,\text{linha }2;\\ \text{linha }3;\\ \text{linha }1\,].
Quanto a L: os multiplicadores calculados, levando em conta as trocas (trocam‑se as entradas de L nas colunas já formadas quando se faz uma permuta), resultam em