Mostrar que para qualquer
o número
nunca é um quadrado. Dê um exemplo numérico.
Passo 1
O enunciado dá que
é um inteiro qualquer e nos pede duas coisas:
- Mostrar que, para todo
, o número nunca é um quadrado perfeito (isto é, nunca existe inteiro tal que ). - Fornecer um exemplo numérico que ilustre isso.
As informações relevantes do enunciado são exatamente a expressão
e que
varia em todos os inteiros.
Passo 2
Ideia do método (explicada devagarinho): vamos trabalhar com restos de divisão por 3 (ou seja, congruências módulo 3). Explicando o que é isso: dizer que dois inteiros
e
são congruentes módulo 3, escrito
, significa que
divide
. Trabalhar com congruências é útil aqui porque multiplicação e potenciação preservam restos, e os quadrados assumem poucos valores possíveis módulo 3 — isso costuma bloquear a possibilidade de certas igualdades envolvendo quadrados.
Antes de aplicar ao problema, vamos estudar quais são os possíveis restos de um quadrado ao dividir por 3 (isto é, quais valores um quadrado pode assumir módulo 3).
Passo 3
Análise dos quadrados módulo 3 (passo a passo):
- Todo inteiro
tem uma classe de resto entre quando dividido por 3; ou seja, , ou . - Calculemos
em cada caso: - Se
então . - Se
então . - Se
então .
- Se
- Conclusão: qualquer quadrado inteiro é congruente a
ou a módulo . Em notação: se é inteiro então ou .
Passo 4
Aplicação ao problema — prova por contradição simples:
- Suponha, para obter contradição, que exista
e tais que
- Reduzindo essa igualdade módulo 3 obtemos:
- Mas, pelo Passo 3,
só pode ser congruente a ou a módulo . Não pode ser congruente a . - Isso é uma contradição. Logo a hipótese de existir inteiro
tal que é falsa. - Portanto, para todo
o número não é um quadrado perfeito.
Passo 5
Exemplo numérico (para ver no concreto): tome
. Então
O número
não é quadrado perfeito porque
. Assim
não é quadrado. Outro exemplo:
dá
e
também não é quadrado (está entre
e
).
Resposta
Para todo
,
não é um quadrado perfeito.
Exemplo: para
tem-se
, que não é quadrado.