Mostrar que para qualquer n \in \mathbb{Z} o número 3 n^{2}-1 nunca é um quadrado. Dê um exemplo numérico.

Passo 1

O enunciado dá que n é um inteiro qualquer e nos pede duas coisas:
  • Mostrar que, para todo n \in \mathbb{Z}, o número \,3n^{2}-1\, nunca é um quadrado perfeito (isto é, nunca existe inteiro m tal que 3n^{2}-1=m^{2}).
  • Fornecer um exemplo numérico que ilustre isso.
As informações relevantes do enunciado são exatamente a expressão \,3n^{2}-1 e que n varia em todos os inteiros.

Passo 2

Ideia do método (explicada devagarinho): vamos trabalhar com restos de divisão por 3 (ou seja, congruências módulo 3). Explicando o que é isso: dizer que dois inteiros a e b são congruentes módulo 3, escrito a\equiv b\pmod{3}, significa que 3 divide a-b. Trabalhar com congruências é útil aqui porque multiplicação e potenciação preservam restos, e os quadrados assumem poucos valores possíveis módulo 3 — isso costuma bloquear a possibilidade de certas igualdades envolvendo quadrados.
Antes de aplicar ao problema, vamos estudar quais são os possíveis restos de um quadrado ao dividir por 3 (isto é, quais valores um quadrado pode assumir módulo 3).

Passo 3

Análise dos quadrados módulo 3 (passo a passo):
  • Todo inteiro m tem uma classe de resto entre 0,1,2 quando dividido por 3; ou seja, m\equiv 0, m\equiv 1 ou m\equiv 2\pmod{3}.
  • Calculemos m^{2} em cada caso:
    • Se m\equiv 0\pmod{3} então m^{2}\equiv 0^{2}\equiv 0\pmod{3}.
    • Se m\equiv 1\pmod{3} então m^{2}\equiv 1^{2}\equiv 1\pmod{3}.
    • Se m\equiv 2\pmod{3} então m^{2}\equiv 2^{2}\equiv 4\equiv 1\pmod{3}.
  • Conclusão: qualquer quadrado inteiro é congruente a 0 ou a 1 módulo 3. Em notação: se m é inteiro então m^{2}\equiv 0 ou m^{2}\equiv 1\pmod{3}.

Passo 4

Aplicação ao problema — prova por contradição simples:
  • Suponha, para obter contradição, que exista n\in\mathbb{Z} e m\in\mathbb{Z} tais que
3n^{2}-1=m^{2}.
  • Reduzindo essa igualdade módulo 3 obtemos:
m^{2}\equiv 3n^{2}-1\equiv 0\cdot n^{2}-1\equiv -1\equiv 2\pmod{3}.
  • Mas, pelo Passo 3, m^{2} só pode ser congruente a 0 ou a 1 módulo 3. Não pode ser congruente a 2.
  • Isso é uma contradição. Logo a hipótese de existir inteiro m tal que 3n^{2}-1=m^{2} é falsa.
  • Portanto, para todo n\in\mathbb{Z} o número \,3n^{2}-1 não é um quadrado perfeito.

Passo 5

Exemplo numérico (para ver no concreto): tome n=1. Então
3\cdot 1^{2}-1=3-1=2.
O número 2 não é quadrado perfeito porque 1^{2}=1<2<4=2^{2}. Assim 3\cdot 1^{2}-1 não é quadrado. Outro exemplo: n=2
3\cdot 2^{2}-1=3\cdot4-1=12-1=11,
e 11 também não é quadrado (está entre 3^{2}=9 e 4^{2}=16).

Resposta

Para todo n\in\mathbb{Z}, 3n^{2}-1 não é um quadrado perfeito.
Exemplo: para n=1 tem-se 3\cdot1^{2}-1=2, que não é quadrado.

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