Dados a, b inteiros não nulos, prove que:
m d c(a, b)=m m c(a, b) se e somente se |a|=|b|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiros não nulos a e b, vale que mdc(a,b)=mmc(a,b) se, e somente se, |a|=|b|. O assunto aqui é a relação entre máximo divisor comum (mdc), mínimo múltiplo comum (mmc) e a identidade mdc(a,b),mmc(a,b)=|a b|.

Passo 2

Primeiro vamos provar que, se mdc(a,b)=mmc(a,b), então |a|=|b|. Denote por g=mdc(a,b). Sabemos que existem inteiros x,y tais que a=g x, b=g y e mdc(x,y)=1. Pela identidade fundamental temos:
gcdotmmc(a,b)=|a b|=|g xcdot g y|=g^2|x y|
Mas a hipótese diz que mmc(a,b)=g, então
gcdot g=g^2= g^2|x y|Longrightarrow |x y|=1
Como x,y são inteiros, a única forma de |x y|=1 é |x|=|y|=1. Logo
|a|=|g x|=ge|b|=|g y|=g
e assim |a|=|b|.

Passo 3

Agora a recíproca: suponha que |a|=|b|. Então existe c>0 tal que |a|=|b|=c. Se b=pm a, qualquer divisor comum de a e b chega a c no máximo, então mdc(a,b)=c. Por outro lado, o menor múltiplo comum de a e pm a também é c. Logo mmc(a,b)=c. Portanto mdc(a,b)=mmc(a,b).

Passo 4

Conclusão: juntando as duas direções, demonstramos que mdc(a,b)=mmc(a,b) se, e somente se, |a|=|b|.

Resposta

Demonstramos as duas implicações e concluímos que mdc(a,b)=mmc(a,b) exatamente quando |a|=|b|.

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