Dados
inteiros não nulos, prove que:
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para inteiros não nulos
e
, vale que
se, e somente se,
. O assunto aqui é a relação entre máximo divisor comum (mdc), mínimo múltiplo comum (mmc) e a identidade
.
Passo 2
Primeiro vamos provar que, se
, então
. Denote por
. Sabemos que existem inteiros
tais que
,
e
. Pela identidade fundamental temos:
Mas a hipótese diz que
, então
Como
são inteiros, a única forma de
é
. Logo
e assim
.
Passo 3
Agora a recíproca: suponha que
. Então existe
tal que
. Se
, qualquer divisor comum de
e
chega a
no máximo, então
. Por outro lado, o menor múltiplo comum de
e
também é
. Logo
. Portanto
.
Passo 4
Conclusão: juntando as duas direções, demonstramos que
se, e somente se,
.
Resposta
Demonstramos as duas implicações e concluímos que mdc(a,b)=mmc(a,b) exatamente quando |a|=|b|.