Determinar todos os inteiros positivos a, b tais que m m c(a, b)=72 e m d c(a, b)=36.

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros positivos a e b tais que mmc(a,b)=72 e mdc(a,b)=36. Estamos na parte de teoria dos números, usando a relação fundamental entre produto, mdc e mmc: acdot b=mdc(a,b)timesmmc(a,b).

Passo 2

Para explorar essa relação, escrevemos a=36x e b=36y, pois mdc(a,b)=36 implica que removemos esse fator comum. Com isso temos gcd(x,y)=1.

Passo 3

O mmc de a e b vale 36,mmc(x,y), e queremos que isso seja 72. Logo

Passo 4

36,mmc(x,y)=72

Passo 5

daí

Passo 6

mmc(x,y)=2.

Passo 7

Como x e y são coprimos ( gcd(x,y)=1), vale mmc(x,y)=x,y. Então

Passo 8

x,y=2.

Passo 9

Os únicos inteiros positivos com produto 2 são (x,y)=(1,2) ou (2,1), ambos satisfazendo gcd(x,y)=1. Assim obtemos (a,b)=(36cdot1,36cdot2)=(36,72) e (a,b)=(36cdot2,36cdot1)=(72,36).

Resposta

Os pares ordenados são (36, 72) e (72, 36).

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