Determine inteiros positivos a e b tais que a+b=581 e m m c(a, b)m d c(a, b)=240.

Passo 1

A questão pede dois inteiros positivos a e b tais que a+b=581 e lcm(a,b)/gcd(a,b)=240. O conteúdo envolvido é o uso da relação entre máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc) para inteiros. Vamos precisar das propriedades de mdc e mmc e de fatoração de inteiros.

Passo 2

Para explorar essas condições, escrevemos

Passo 3

a = g x, b = g y, gcd(x,y)=1

Passo 4

e então temos

Passo 5

gcd(a,b)=g, lcm(a,b)=gxy, lcm(a,b)gcd(a,b)=xy,

Passo 6

além de

Passo 7

a+b = g(x+y) = 581

Passo 8

Logo, precisamos de inteiros positivos x,y coprimos com xy=240 e g = 581/(x+y) inteiro.

Passo 9

Fatoramos

Passo 10

240 = 2^4 cdot 3 cdot 5

Passo 11

Para gcd(x,y)=1, cada primo (junto de sua potência) vai todo para x ou todo para y. Assim as possibilidades de x são

Passo 12

1,,16,,3,,5,,48,,80,,15,,240

Passo 13

com y=240/x. Calculamos x+y e verificamos se g=581/(x+y) é inteiro: somente para x=3 e y=80 temos

Passo 14

x+y = 3+80 = 83, g = 58183 = 7

Passo 15

Isso gera

Passo 16

a = 7cdot3 = 21, b = 7cdot80 = 560,

Passo 17

que de fato satisfazem a+b=581 e lcm(21,560)/gcd(21,560)=240.

Resposta

Os valores são a = 21 e b = 560 (ou vice-versa).

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