Dados a, b inteiros não nulos, prove que:
Para todo 0 neq k in Z, mmc(k a, k b)=|k| m m c(a, b).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros não nulos a, b e qualquer k≠0, temos mmc(ka,kb)=|k|⋅mmc(a,b). O conteúdo principal é o conceito de mínimo múltiplo comum (mmc) e a propriedade de como ele se comporta quando multiplicamos seus argumentos por um mesmo inteiro k.

Passo 2

Vamos usar a definição que envolve o máximo divisor comum (mdc): para quaisquer inteiros x,y≠0, vale
mmc(x,y)=|x,y|gcd(x,y)

Passo 3

Primeiro, calculemos gcd(ka,kb). Pela propriedade do mdc, para qualquer k≠0 vale
gcd(ka,kb)=|k|,gcd(a,b)

Passo 4

Agora aplicamos a definição de mmc a (ka, kb):
mmc(ka,kb)=|(ka),(kb)|gcd(ka,kb) =|k^2,a,b||k|,gcd(a,b) =|k|,|a,b|gcd(a,b) =|k|,mmc(a,b)

Passo 5

Portanto chegamos exatamente ao que se queria demonstrar.

Resposta

mmc(ka,kb)=|k|,mmc(a,b).

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