Dados
inteiros não nulos, prove que:
Para todo
.
Para todo
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros não nulos a, b e qualquer k≠0, temos mmc(ka,kb)=|k|⋅mmc(a,b). O conteúdo principal é o conceito de mínimo múltiplo comum (mmc) e a propriedade de como ele se comporta quando multiplicamos seus argumentos por um mesmo inteiro k.
Passo 2
Vamos usar a definição que envolve o máximo divisor comum (mdc): para quaisquer inteiros x,y≠0, vale
Passo 3
Primeiro, calculemos
. Pela propriedade do mdc, para qualquer k≠0 vale
Passo 4
Agora aplicamos a definição de mmc a (ka, kb):
Passo 5
Portanto chegamos exatamente ao que se queria demonstrar.